Постройте график функций Y=-x^2+6x-9

Для построения графика функции y = -x^2 + 6x - 9 необходимо следовать нескольким шагам:

1. Выразить функцию в стандартной форме квадратичной функции: y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.
2. Найти вершину параболы, используя формулы h = -b/(2a) и k = f(h), где a, b, c - коэффициенты квадратного уравнения.
3. Найти дополнительные точки для построения графика, например, найти x-интерцепты или точки пересечения с осями координат.
4. Построить график, используя полученные данные.

После выполнения всех этих шагов вы сможете построить график функции y = -x^2 + 6x - 9 и визуально оценить ее форму и характер.

Чтобы построить график функции ( y = -x^2 + 6x - 9 ), следуйте этим шагам:

1. Определите тип функции: Это квадратичная функция, так как переменная ( x ) возводится в квадрат. Квадратичные функции имеют график в форме параболы. Коэффициент перед ( x^2 ) отрицательный (-1), поэтому парабола будет направлена вниз.

2. Найдите основные характеристики параболы:

   • Коэффициенты: Функция представлена в виде ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = -1 ), ( b = 6 ), и ( c = -9 ).

   • Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Подставим значения: [ x = -\frac{6}{2(-1)} = 3 ] Теперь найдём значение ( y ) в этой точке: [ y = -3^2 + 6 \cdot 3 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (3, 0) ).

   • Найдите точки пересечения с осями:

     • Пересечение с осью ( y ): Подставляем ( x = 0 ): [ y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 9 = -9 ] Точка пересечения с осью ( y ) — ( (0, -9) ).

     • Пересечение с осью ( x ): Для этого нужно решить уравнение ( -x^2 + 6x - 9 = 0 ). Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-9) = 36 - 36 = 0 ] Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 0}{2(-1)} = 3 ] Это подтверждает, что вершина параболы также является единственной точкой пересечения с осью ( x ).

3. Постройте график:

   • Нарисуйте координатные оси.
   • Отметьте вершину параболы ( (3, 0) ).
   • Отметьте точку пересечения с осью ( y ) — ( (0, -9) ).
   • Парабола симметрична относительно прямой ( x = 3 ).

4. Постройте дополнительные точки для точности: Чтобы лучше понять форму параболы, можно подставить несколько значений ( x ) слева и справа от вершины и найти соответствующие значения ( y ).

   Например:

   • При ( x = 2 ): [ y = -(2)^2 + 6 \cdot 2 - 9 = -4 + 12 - 9 = -1 ] Точка ( (2, -1) ).
   • При ( x = 4 ): [ y = -(4)^2 + 6 \cdot 4 - 9 = -16 + 24 - 9 = -1 ] Точка ( (4, -1) ).

   Эти точки подтверждают, что парабола симметрична относительно оси ( x = 3 ).

5. Соедините точки плавной кривой: Соедините точки плавной кривой, чтобы получить полную форму параболы. Она должна открываться вниз.

Теперь у вас есть все данные для построения точного графика функции ( y = -x^2 + 6x - 9 ).