Постройте график y=x^2-2x-3/ Найдите а) область значения функции , б) промежуток убывания функции

Для построения графика функции y=x^2-2x-3 необходимо сначала найти вершину параболы, которая определяется формулой x=-b/2a. В данном случае a=1, b=-2, поэтому x=2/2=1. Подставив x=1 в исходное уравнение, получим y=1^2-2*1-3=-4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, -4).

Теперь найдем область значений функции. Поскольку парабола с ветвями вверх, минимальное значение функции будет в вершине, то есть y≥-4. Следовательно, область значений функции - это все действительные числа больше или равные -4.

Для определения промежутка убывания функции нужно определить, в каких точках функция имеет отрицательное значение производной. Для этого найдем производную функции: y'=2x-2. Решив уравнение 2x-2=0, получим x=1. Это означает, что функция убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, +∞).

Для начала разберем функцию ( y = x^2 - 2x - 3 ). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Построение графика:

1. Найдем вершину параболы. Координаты вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) можно найти по формулам:

   • ( x_0 = -\frac{b}{2a} )
   • ( y_0 = c - \frac{b^2}{4a} )

   Для данной функции ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = -3 ). Таким образом:

   • ( x_0 = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1 )
   • ( y_0 = -3 - \frac{(-2)^2}{4 \times 1} = -3 - 1 = -4 )

   Вершина параболы находится в точке (1, -4).

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

   • Пересечение с осью Y (при ( x = 0 )): ( y = 0^2 - 2 \times 0 - 3 = -3 )
   • Пересечение с осью X (решим уравнение ( x^2 - 2x - 3 = 0 )): ( x^2 - 2x - 3 = 0 ) можно решить через дискриминант: ( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 ) ( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3 ) ( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1 )

   Таким образом, график пересекает ось X в точках ( x = 3 ) и ( x = -1 ).

Анализ функции:

а) Область значений функции (Range): Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент ( a = 1 > 0 )), минимальное значение функции достигается в вершине, то есть ( y = -4 ). Следовательно, область значений функции ( y ) — все числа, начиная с -4 и до бесконечности: ( [-4, +\infty) ).

б) Промежуток убывания функции: Поскольку вершина параболы находится в точке ( x = 1 ) и ветви параболы направлены вверх, функция убывает на интервале от минус бесконечности до 1. То есть промежуток убывания функции: ( (-\infty, 1) ).

Таким образом, мы построили график функции, определили её область значений и промежуток убывания.

а) Область значений функции y=x^2-2x-3: (-∞, -4] ∪ [-1, +∞) б) Промежуток убывания функции: (-∞, 1)