ПОЖАЛУЙСТА НАЙДИТЕ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ: 1)y=0,25x^4+x^2-4 2)y=(x^2-5x)(1-2√x) 3)y=2/√x 4)y=-2/cosx 5)y=sinx/x^2+3...

1) y = 0.25x^4 + x^2 - 4 Производная функции y по x: y' = 4 * 0.25x^3 + 2x = x^3 + 2x

2) y = (x^2 - 5x)(1 - 2√x) Производная функции y по x: y' = (2x - 5)(1 - 2√x) + (x^2 - 5x)(-1/√x) y' = 2x - 5 - 4x√x - 2x^2/√x + 5/√x y' = -2x^2/√x - 4x√x + 2x - 5 + 5/√x

3) y = 2/√x Производная функции y по x: y' = -2/2√x^3 = -1/x√x

4) y = -2/cosx Производная функции y по x: y' = 2sinx / cos^2x

5) y = sinx/x^2 + 3 Производная функции y по x: y' = (x^2cosx - 2xsinx) / x^4

6) y = (3x + 1)ctgx Производная функции y по x: y' = (3 * (1 / sin^2x)) / (1 / cos^2x) y' = 3cos^2x / sin^2x y' = 3cotgx

Конечно, давайте разберем производные для каждой из указанных функций. Используем правила дифференцирования, такие как правило степенной функции, правило произведения, правило частного и производные элементарных функций.

1) ( y = 0.25x^4 + x^2 - 4 )

Для нахождения производной воспользуемся правилом степенной функции:

[ y' = \frac{d}{dx}(0.25x^4) + \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(4) ]

[ y' = 4 \cdot 0.25x^{4-1} + 2x^{2-1} - 0 = x^3 + 2x ]

2) ( y = (x^2 - 5x)(1 - 2\sqrt{x}) )

Используем правило произведения: ((uv)' = u'v + uv').

Пусть ( u = x^2 - 5x ) и ( v = 1 - 2\sqrt{x} ).

Найдем производные:

[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x) = 2x - 5 ]

[ v' = \frac{d}{dx}(1 - 2\sqrt{x}) = -\frac{d}{dx}(2x^{1/2}) = -2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}} ]

Теперь подставим в правило произведения:

[ y' = (2x - 5)(1 - 2\sqrt{x}) + (x^2 - 5x)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) ]

3) ( y = \frac{2}{\sqrt{x}} )

Это можно переписать как ( y = 2x^{-1/2} ). Используем правило степенной функции:

[ y' = 2 \cdot -\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1} = -x^{-3/2} = -\frac{1}{x^{3/2}} ]

4) ( y = -\frac{2}{\cos{x}} )

Это можно переписать как ( y = -2\sec{x} ). Производная секанса: ((\sec{x})' = \sec{x}\tan{x}).

[ y' = -2(\sec{x}\tan{x}) ]

5) ( y = \frac{\sin{x}}{x^2 + 3} )

Используем правило частного: (\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}).

Пусть ( u = \sin{x} ) и ( v = x^2 + 3 ).

Производные:

[ u' = \cos{x} ]

[ v' = 2x ]

Теперь подставим в правило частного:

[ y' = \frac{\cos{x}(x^2 + 3) - \sin{x}(2x)}{(x^2 + 3)^2} ]

6) ( y = (3x + 1)\cot{x} )

Используем правило произведения. Пусть ( u = 3x + 1 ) и ( v = \cot{x} ).

Производные:

[ u' = 3 ]

[ v' = -\csc^2{x} ]

Теперь подставим в правило произведения:

[ y' = (3)(\cot{x}) + (3x + 1)(-\csc^2{x}) ]

Таким образом, мы нашли производные для всех данных функций. Если нужно дополнительное пояснение по какой-либо из них, пожалуйста, дайте знать!