ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ Построить график функции y= -x^2+2x+3 По графику выяснить: 1) при каких значения х функция принимает положительные [отрицательные] значения 2)при каких значениях х функция убывает [возрастает] 3) при каких значения х функция принимает наименьшее [наибольшее] значение и найти это значение.
Для построения графика функции y = -x^2 + 2x + 3 сначала построим основные точки для построения графика.
1) Начнем с вершины параболы. Для нахождения вершины используем формулу x = -b/2a, где a = -1, b = 2. Таким образом, x = -2/(2(-1)) = 1. Подставляем x = 1 в исходное уравнение и находим y: y = -1^2 + 21 + 3 = 4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 4).
2) Теперь найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения пересечения с осью y (x=0), подставляем x = 0: y = -0^2 + 2*0 + 3 = 3, поэтому точка пересечения с осью y - (0, 3). Для нахождения пересечения с осью x (y=0), подставляем y = 0: 0 = -x^2 + 2x + 3, решая это квадратное уравнение, получаем x = -1, x = 3, поэтому точки пересечения с осью x - (-1, 0) и (3, 0).
3) Построим график функции, подставив найденные точки в уравнение и проведя параболу через них.
Теперь перейдем к вопросам:
1) Функция принимает положительные значения, когда y > 0. Из графика видно, что это происходит при x < -1 и x > 3. Функция принимает отрицательные значения, когда y < 0. Это происходит при -1 < x < 3.
2) Функция убывает, когда производная отрицательна. Производная функции y = -x^2 + 2x + 3 равна y' = -2x + 2. Из графика видно, что функция убывает при x < 1 и возрастает при x > 1.
3) Наименьшее значение функции - это значение y вершины параболы, которое мы нашли ранее, y = 4. Наибольшее значение функции - это значение y на точке пересечения с осью y, то есть y = 3.
Чтобы построить график функции ( y = -x^2 + 2x + 3 ), начнем с анализа этой квадратичной функции.
Функция ( y = -x^2 + 2x + 3 ) является квадратичной функцией в стандартной форме ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = -1 ), ( b = 2 ), и ( c = 3 ).
Графиком такой функции является парабола. Поскольку коэффициент ( a ) отрицательный (( a = -1 )), парабола будет направлена вниз.
Координаты вершины параболы можно найти по формулам: [ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1 ]
Подставим ( x_v = 1 ) в уравнение функции, чтобы найти координату ( y ) вершины: [ y_v = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 ]
Итак, вершина параболы имеет координаты ( (1, 4) ).
Пересечение с осью ( y ): при ( x = 0 ), ( y = -0^2 + 2 \times 0 + 3 = 3 ). Точка пересечения: ( (0, 3) ).
Пересечение с осью ( x ): Найдем корни уравнения ( -x^2 + 2x + 3 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16 ]
Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{-2} ]
[ x_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 ]
Точки пересечения с осью ( x ): ( (-1, 0) ) и ( (3, 0) ).
Парабола имеет ветви, направленные вниз, и вершина находится в точке ( x = 1 ). Между корнями (( x = -1 ) и ( x = 3 )) функция принимает положительные значения, так как парабола выше оси ( x ).
Функция возрастает до вершины и убывает после вершины:
Поскольку парабола направлена вниз, функция достигает наибольшего значения в вершине.
График функции ( y = -x^2 + 2x + 3 ) — это парабола с вершиной в точке ( (1, 4) ), проходящая через точки ( (-1, 0) ), ( (3, 0) ), и ( (0, 3) ).
1) Функция принимает положительные значения, когда -x^2 + 2x + 3 > 0. Решаем неравенство и получаем интервалы, где функция положительна. 2) Функция убывает, когда производная (-2x + 2) < 0. Решаем неравенство и получаем интервалы, где функция убывает. 3) Наименьшее значение функции будет в вершине параболы, которая равна -D/4a, где D - дискриминант, a - коэффициент перед x^2. Наибольшее значение будет в точке, где функция пересекает ось у.
