Представьте бесконечную периодическую дробь 1,(55); -0,(8); -2,3(82) в виде обыкновенной дроби.
Представьте бесконечную периодическую дробь 1,(55); -0,(8); -2,3(82) в виде обыкновенной дроби.
Для того чтобы представить бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби, нужно воспользоваться свойствами периодических дробей.
1) Первая дробь 1,(55) можно представить как 1 + 0,(55), где 0,(55) - периодическая дробь. Для того чтобы выразить периодическую дробь в виде обыкновенной, обозначим ее за x и заметим, что 0,(55) = x. Тогда уравнение будет выглядеть как x = 0,55 + 0,0055x. После переноса дроби x влево и перемножения обеих сторон на 100 получаем 100x = 55 + 5.5x, откуда 94.5x = 55 и x = 55/94.5 = 11/19. Таким образом, 1,(55) = 1 + 11/19 = 30/19.
2) Вторая дробь -0,(8) можно представить как -0,8 = -8/10 = -4/5.
3) Третья дробь -2,3(82) можно представить как -2,382828. = -2 + 0,382828. = -2 + 82/99 (поскольку 0,38 - периодическая дробь). Уравнение будет выглядеть как x = 0,38 + 0,004x. После решения этого уравнения получим x = 38/99. Таким образом, -2,3(82) = -2 + 38/99 = -203/99.
Итак, бесконечные периодические дроби 1,(55); -0,(8); -2,3(82) можно представить в виде обыкновенных дробей: 30/19; -4/5; -203/99 соответственно.
Для представления бесконечной периодической дроби в виде обыкновенной дроби используется метод замены бесконечной периоды на переменную. В данном случае:
1,(55) = 1 + 0,(55) = 1 + 55/99 = 1 + 5/9 = 14/9 -0,(8) = -0,(8) = -8/9 -2,3(82) = -2 + 0,3(82) = -2 + 382/99 = -2 + 382/99 = -217/99
Таким образом, представленные дроби в виде обыкновенной дроби:
1,(55) = 14/9 -0,(8) = -8/9 -2,3(82) = -217/99
Чтобы представить бесконечные периодические дроби в виде обыкновенной дроби, нужно использовать алгоритм, который включает в себя вычитание и деление. Рассмотрим каждую из дробей отдельно.
Дробь 1,(55):
Пусть ( x = 1.5555\ldots )
Чтобы избавиться от периодичности, умножим ( x ) на 100 (так как период состоит из двух цифр): [ 100x = 155.5555\ldots ]
Теперь вычтем из ( 100x ) значение ( x ): [ 100x - x = 155.5555\ldots - 1.5555\ldots ] [ 99x = 154 ]
Разделим обе части уравнения на 99: [ x = \frac{154}{99} ]
Таким образом, обыкновенная дробь для 1,(55) – это (\frac{154}{99}).
Дробь -0,(8):
Пусть ( y = -0.8888\ldots )
Чтобы избавиться от периодичности, умножим ( y ) на 10 (так как период состоит из одной цифры): [ 10y = -8.8888\ldots ]
Теперь вычтем из ( 10y ) значение ( y ): [ 10y - y = -8.8888\ldots + 0.8888\ldots ] [ 9y = -8 ]
Разделим обе части уравнения на 9: [ y = -\frac{8}{9} ]
Таким образом, обыкновенная дробь для -0,(8) – это (-\frac{8}{9}).
Дробь -2,3(82):
Пусть ( z = -2.38282828\ldots )
Чтобы избавиться от периодичности, умножим ( z ) на 1000 (так как период состоит из двух цифр): [ 1000z = -2382.82828\ldots ]
Теперь вычтем из ( 1000z ) значение ( 10z ) (так как до периода одна цифра): [ 1000z - 10z = -2382.82828\ldots + 23.82828\ldots ] [ 990z = -2359 ]
Разделим обе части уравнения на 990: [ z = -\frac{2359}{990} ]
Если возможно, сокращаем дробь: [ z = -\frac{2359}{990} ]
Таким образом, обыкновенная дробь для -2,3(82) – это (-\frac{2359}{990}).
В итоге, периодические дроби 1,(55), -0,(8), и -2,3(82) представлены в виде обыкновенных дробей (\frac{154}{99}), (-\frac{8}{9}), и (-\frac{2359}{990}) соответственно.
