Представьте число 42 в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом,чтобы их произведение было...

Представим число 42 в виде суммы трех положительных слагаемых x, y и z, таким образом, чтобы их произведение было наибольшим. При этом мы знаем, что два из них (y и z) пропорциональны числам 2 и 3. Обозначим эти два слагаемых как 2a и 3a, где a - некоторое положительное число.

Тогда наша задача сводится к нахождению таких значений x, y и z, которые удовлетворяют условию x + 2a + 3a = 42, где x - третье слагаемое.

x + 5a = 42 x = 42 - 5a

Теперь найдем произведение x, y и z:

P = xyz = (42 - 5a) 2a 3a = 6a(42 - 5a)

Для нахождения максимума произведения P найдем производную и приравняем ее к нулю:

P' = 6(42 - 5a) - 6a * 5 = 0 252 - 30a - 30a = 0 252 = 60a a = 4.2

Таким образом, наибольшее произведение будет достигаться при значениях a = 4.2. Подставим это значение обратно в уравнения:

x = 42 - 5 4.2 = 21 y = 2 4.2 = 8.4 z = 3 * 4.2 = 12.6

Итак, число 42 можно представить в виде суммы трех положительных слагаемых 21, 8.4 и 12.6, таким образом, чтобы их произведение было наибольшим, а два из них были пропорциональны числам 2 и 3.

Чтобы представить число 42 в виде суммы трех положительных слагаемых, чтобы их произведение было наибольшим, при этом два из них были пропорциональны числам 2 и 3, следует выполнить следующие шаги:

Обозначим слагаемые как (2x), (3x) и (y), где (2x) и (3x) пропорциональны 2 и 3 соответственно. Тогда у нас получается уравнение:

[ 2x + 3x + y = 42. ]

Это можно упростить до:

[ 5x + y = 42. ]

Отсюда можем выразить (y):

[ y = 42 - 5x. ]

Теперь нужно максимизировать произведение (2x \cdot 3x \cdot y):

[ P = 2x \cdot 3x \cdot (42 - 5x) = 6x^2 (42 - 5x). ]

Это выражение для произведения (P) является квадратичной функцией относительно (x). Чтобы найти максимальное значение, найдём производную (P) по (x) и приравняем её к нулю:

[ \frac{dP}{dx} = \frac{d}{dx}[6x^2 (42 - 5x)]. ]

Сначала раскроем скобки:

[ P = 252x^2 - 30x^3. ]

Теперь найдём производную:

[ \frac{dP}{dx} = 504x - 90x^2. ]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

[ 504x - 90x^2 = 0. ]

Разделим уравнение на 6:

[ 84x - 15x^2 = 0. ]

Вынесем (x) за скобки:

[ x(84 - 15x) = 0. ]

Отсюда имеем два решения: (x = 0) и (84 - 15x = 0). Так как (x = 0) не подходит (мы ищем положительные слагаемые), решаем второе уравнение:

[ 84 = 15x ]

[ x = \frac{84}{15} = \frac{28}{5} = 5.6. ]

Теперь найдём (y):

[ y = 42 - 5 \times 5.6 = 42 - 28 = 14. ]

Таким образом, слагаемые будут равны:

• (2x = 2 \times 5.6 = 11.2),
• (3x = 3 \times 5.6 = 16.8),
• (y = 14).

Итак, числа 11.2, 16.8 и 14 в сумме дают 42, и их произведение максимально.

42 = 14 + 14 + 14 Произведение: 14 14 14 = 2744