Представьте число 45 в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом, чтобы их произведение...

Чтобы представить число 45 в виде суммы трех положительных слагаемых (a), (b) и (c) таким образом, чтобы их произведение (abc) было наибольшим, и при этом два из них были пропорциональны числам 1 и 4, мы можем воспользоваться методами оптимизации, включая использование производных и свойств арифметических и геометрических прогрессий.

Первым делом обозначим пропорциональные слагаемые как (a) и (b), где (a = k) и (b = 4k), где (k) — некоторая положительная константа. Таким образом, у нас есть:

[ a + b + c = k + 4k + c = 5k + c = 45. ]

Отсюда найдём (c):

[ c = 45 - 5k. ]

Теперь подставим эти выражения в выражение для произведения:

[ abc = k \cdot 4k \cdot (45 - 5k) = 4k^2 (45 - 5k). ]

Чтобы найти значение (k), которое максимизирует это произведение, продифференцируем его по (k) и найдём критические точки:

1. Найдём производную:

[ \frac{d}{dk}[4k^2 (45 - 5k)] = \frac{d}{dk}[180k^2 - 20k^3]. ]

1. Производная будет:

[ \frac{d}{dk} = 360k - 60k^2. ]

1. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

[ 360k - 60k^2 = 0. ]

Разделим на 60:

[ 6k - k^2 = 0. ]

Разложим на множители:

[ k(6 - k) = 0. ]

Отсюда (k = 0) или (k = 6). Поскольку (k) должно быть положительным, мы выберем (k = 6).

Теперь подставим (k = 6) обратно, чтобы найти (a), (b) и (c):

[ a = k = 6, ] [ b = 4k = 24, ] [ c = 45 - 5k = 15. ]

Таким образом, числа (a = 6), (b = 24) и (c = 15). Проверим произведение:

[ abc = 6 \times 24 \times 15 = 2160. ]

Эти значения (a), (b), и (c) дают максимальное произведение при заданных условиях.

15, 15, 15.

Пусть наши слагаемые обозначаются как x, 4x и 45 - 5x, так как два слагаемых должны быть пропорциональны числам 1 и 4. Тогда произведение этих слагаемых будет равно x 4x (45 - 5x).

Для нахождения максимального значения этого произведения, найдем производную и приравняем ее к нулю: d/dx (x 4x (45 - 5x)) = 4x(45 - 5x) + 4x^2(-5) = 0 180x - 20x^2 - 20x^2 = 0 180x - 40x^2 = 0 40x^2 - 180x = 0 4x(10x - 45) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 0 (не подходит) и x = 4.5.

Следовательно, наибольшее произведение будет достигаться при x = 4.5. Слагаемые будут равны: 4.5, 18 и 22.5.

Итак, число 45 может быть представлено в виде суммы трех положительных слагаемых 4.5, 18 и 22.5, при этом их произведение будет наибольшим.