Представьте дробь в виде суммы двух дробей , знаменатели которых являются двучленами первой степени:...

1) Для представления дроби 3x + 3 / (x - 1)(x + 2) в виде суммы двух дробей с знаменателями, являющимися двучленами первой степени, нужно сначала разложить знаменатель на простейшие дроби.

(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2

Теперь найдем коэффициенты для разложения на простейшие дроби:

3x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)

Умножим обе части на (x - 1)(x + 2) и получим:

3x + 3 = A(x + 2)(x - 1) + B(x - 1)(x + 2)

3x + 3 = A(x^2 + x - 2) + B(x^2 - 1)

3x + 3 = Ax^2 + Ax - 2A + Bx^2 - B

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях x:

(3x + 3) = (A + B)x^2 + (A + B)x - 2A

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 0 (коэффициент при x^2) A + B = 3 (коэффициент при x) -2A = 3 (свободный член)

Решая систему уравнений, получаем A = -3 и B = 3.

Таким образом, дробь 3x + 3 / (x - 1)(x + 2) можно представить в виде суммы двух дробей:

3x + 3 / (x - 1)(x + 2) = -3 / (x - 1) + 3 / (x + 2)

2) Для представления дроби 5x + 4 / x^2 + x - 2 в виде суммы двух дробей с знаменателями, являющимися двучленами первой степени, также нужно разложить знаменатель на простейшие дроби:

x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Теперь найдем коэффициенты для разложения на простейшие дроби:

5x + 4 = A(x - 1) + B(x + 2)

Умножим обе части на (x + 2)(x - 1) и получим:

5x + 4 = A(x + 2)(x - 1) + B(x - 1)(x + 2)

5x + 4 = A(x^2 + x - 2) + B(x^2 + x - 2)

5x + 4 = Ax^2 + Ax - 2A + Bx^2 + Bx - 2B

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях x:

(5x + 4) = (A + B)x^2 + (A + B)x - 2A - 2B

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 0 (коэффициент при x^2) A + B = 5 (коэффициент при x) -2A - 2B = 4 (свободный член)

Решая систему уравнений, получаем A = -5 и B = 5.

Таким образом, дробь 5x + 4 / x^2 + x - 2 можно представить в виде суммы двух дробей:

5x + 4 / x^2 + x - 2 = -5 / (x - 1) + 5 / (x + 2)

Чтобы представить дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых являются двучленами первой степени, нам нужно разложить знаменатели на множители и использовать метод разложения на простые дроби.

Рассмотрим первую дробь:

[ \frac{3x + 3}{(x-1)(x+2)} ]

Здесь знаменатель уже представлен в виде произведения двучленов первой степени. Согласно методу разложения на простые дроби, мы можем представить её как сумму двух дробей:

[ \frac{3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} ]

Где ( A ) и ( B ) — коэффициенты, которые нам нужно найти. Для этого приведем правую часть к общему знаменателю:

[ \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} = \frac{A(x+2) + B(x-1)}{(x-1)(x+2)} ]

Приравниваем числители:

[ A(x+2) + B(x-1) = 3x + 3 ]

Раскроем скобки:

[ Ax + 2A + Bx - B = 3x + 3 ]

Сгруппируем члены с ( x ) и без ( x ):

[ (A + B)x + (2A - B) = 3x + 3 ]

Теперь составим систему уравнений для коэффициентов ( A ) и ( B ):

1. ( A + B = 3 )
2. ( 2A - B = 3 )

Решим эту систему уравнений. Сначала сложим оба уравнения:

[ (A + B) + (2A - B) = 3 + 3 ] [ 3A = 6 ] [ A = 2 ]

Теперь подставим значение ( A ) в первое уравнение:

[ 2 + B = 3 ] [ B = 1 ]

Следовательно:

[ \frac{3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} ]

Теперь рассмотрим вторую дробь:

[ \frac{5x + 4}{x^2 + x - 2} ]

Сначала разложим знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения ( x^2 + x - 2 = 0 ):

[ x^2 + x - 2 = 0 ]

Применяем формулу для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -2 ):

[ x{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} ] [ x{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ] [ x{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 ] [ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 ]

Таким образом, знаменатель можно разложить как:

[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) ]

Теперь представим дробь в виде суммы двух дробей:

[ \frac{5x + 4}{(x-1)(x+2)} = \frac{C}{x-1} + \frac{D}{x+2} ]

Где ( C ) и ( D ) — коэффициенты, которые нам нужно найти. Приведем правую часть к общему знаменателю:

[ \frac{C}{x-1} + \frac{D}{x+2} = \frac{C(x+2) + D(x-1)}{(x-1)(x+2)} ]

Приравниваем числители:

[ C(x+2) + D(x-1) = 5x + 4 ]

Раскроем скобки:

[ Cx + 2C + Dx - D = 5x + 4 ]

Сгруппируем члены с ( x ) и без ( x ):

[ (C + D)x + (2C - D) = 5x + 4 ]

Теперь составим систему уравнений для коэффициентов ( C ) и ( D ):

1. ( C + D = 5 )
2. ( 2C - D = 4 )

Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения:

[ (C + D) + (2C - D) = 5 + 4 ] [ 3C = 9 ] [ C = 3 ]

Теперь подставим значение ( C ) в первое уравнение:

[ 3 + D = 5 ] [ D = 2 ]

Следовательно:

[ \frac{5x + 4}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+2} ]

Итак, ответы на вопросы:

1. [ \frac{3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} ]
2. [ \frac{5x + 4}{x^2 + x - 2} = \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+2} ]