Представьте в виде дроби выражение x+6/x+1-x-6/x-1

Давайте упростим выражение ( \frac{x+6}{x+1} - \frac{x-6}{x-1} ).

1. Найдём общий знаменатель: Общий знаменатель для дробей ( x+1 ) и ( x-1 ) будет ( (x+1)(x-1) ).

2. Приведём дроби к общему знаменателю:

   • Первая дробь: [ \frac{x+6}{x+1} = \frac{(x+6)(x-1)}{(x+1)(x-1)} ]
   • Вторая дробь: [ \frac{x-6}{x-1} = \frac{(x-6)(x+1)}{(x-1)(x+1)} ]

3. Запишем выражение с общим знаменателем: [ \frac{(x+6)(x-1) - (x-6)(x+1)}{(x+1)(x-1)} ]

4. Упростим числитель: Раскроем скобки:

   • ( (x+6)(x-1) = x^2 - x + 6x - 6 = x^2 + 5x - 6 )
   • ( (x-6)(x+1) = x^2 + x - 6x - 6 = x^2 - 5x - 6 )

   Теперь подставим эти выражения в числитель: [ (x^2 + 5x - 6) - (x^2 - 5x - 6) ]

   Упростим: [ x^2 + 5x - 6 - x^2 + 5x + 6 = 10x ]

5. Запишем окончательное выражение: Теперь числитель равен ( 10x ), так что всё выражение становится: [ \frac{10x}{(x+1)(x-1)} ]

Таким образом, выражение ( \frac{x+6}{x+1} - \frac{x-6}{x-1} ) в виде дроби упрощается до: [ \frac{10x}{(x+1)(x-1)} ]

Давайте начнем с упрощения выражения. У нас есть данное выражение:

[ \frac{x+6}{x+1} - \frac{x-6}{x-1} ]

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю.

Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели у нас (x+1) и (x-1). Их общий знаменатель будет произведением этих двух выражений:

[ (x+1)(x-1) ]

Теперь преобразуем каждую дробь, домножив числитель и знаменатель на недостающий множитель.

Для первой дроби (\frac{x+6}{x+1}) домножаем числитель и знаменатель на (x-1):

[ \frac{x+6}{x+1} = \frac{(x+6)(x-1)}{(x+1)(x-1)} ]

Для второй дроби (\frac{x-6}{x-1}) домножаем числитель и знаменатель на (x+1):

[ \frac{x-6}{x-1} = \frac{(x-6)(x+1)}{(x+1)(x-1)} ]

Теперь выражение становится:

[ \frac{(x+6)(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{(x-6)(x+1)}{(x+1)(x-1)} ]

Шаг 2: Объединение дробей.

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно объединить дроби:

[ \frac{(x+6)(x-1) - (x-6)(x+1)}{(x+1)(x-1)} ]

Шаг 3: Раскрытие скобок.

Раскроем скобки в числителе.

1. Раскрываем ((x+6)(x-1)): [ (x+6)(x-1) = x^2 - x + 6x - 6 = x^2 + 5x - 6 ]

2. Раскрываем ((x-6)(x+1)): [ (x-6)(x+1) = x^2 + x - 6x - 6 = x^2 - 5x - 6 ]

Теперь числитель становится:

[ (x^2 + 5x - 6) - (x^2 - 5x - 6) ]

Шаг 4: Упрощение числителя.

Раскрываем скобки и упрощаем:

[ x^2 + 5x - 6 - x^2 + 5x + 6 ]

Складываем подобные члены:

[ x^2 - x^2 + 5x + 5x - 6 + 6 = 10x ]

Итак, числитель равен (10x).

Шаг 5: Запись итогового выражения.

Теперь дробь принимает вид:

[ \frac{10x}{(x+1)(x-1)} ]

Итоговый ответ:

Выражение (\frac{x+6}{x+1} - \frac{x-6}{x-1}) в виде дроби:

[ \frac{10x}{(x+1)(x-1)} ]