При каких целых значениях а является целым числом значение выражения (а+1)^2-6а+4 деленное на а?

Для решения этой задачи нужно рассмотреть выражение (\frac{(a+1)^2 - 6a + 4}{a}) и определить, при каких целых значениях (a) данное выражение является целым числом.

Сначала упростим числитель: [ (a+1)^2 - 6a + 4 = a^2 + 2a + 1 - 6a + 4 = a^2 - 4a + 5 ] Теперь рассмотрим выражение: [ \frac{a^2 - 4a + 5}{a} ] Разделим многочлен в числителе на (a): [ a^2 - 4a + 5 = a(a - 4) + 5 ] Таким образом, выражение принимает вид: [ \frac{a(a - 4) + 5}{a} = a - 4 + \frac{5}{a} ] Чтобы данное выражение было целым числом, (\frac{5}{a}) также должно быть целым числом. Это возможно, когда (a) является делителем числа 5. Целые делители числа 5: (\pm1, \pm5).

Проверим каждое из этих значений:

• Если (a = 1): [ \frac{1^2 - 4 \cdot 1 + 5}{1} = \frac{1 - 4 + 5}{1} = \frac{2}{1} = 2 ]
• Если (a = -1): [ \frac{(-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 5}{-1} = \frac{1 + 4 + 5}{-1} = \frac{10}{-1} = -10 ]
• Если (a = 5): [ \frac{5^2 - 4 \cdot 5 + 5}{5} = \frac{25 - 20 + 5}{5} = \frac{10}{5} = 2 ]
• Если (a = -5): [ \frac{(-5)^2 - 4 \cdot (-5) + 5}{-5} = \frac{25 + 20 + 5}{-5} = \frac{50}{-5} = -10 ]

Таким образом, выражение (\frac{(a+1)^2 - 6a + 4}{a}) является целым числом, когда (a) принимает значения (-5, -1, 1, 5).

Выражение (а+1)^2-6а+4 можно представить как a^2 + 2a + 1 - 6a + 4 = a^2 - 4a + 5. Далее, чтобы это значение было целым числом, необходимо, чтобы a было корнем этого многочлена.

Итак, чтобы выражение (а+1)^2-6а+4 было целым числом при целых значениях а, необходимо и достаточно, чтобы a было корнем многочлена a^2 - 4a + 5. Решив квадратное уравнение a^2 - 4a + 5 = 0, получим два корня: a = 2 + i и a = 2 - i, где i - мнимая единица.

Таким образом, при целых значениях а, значение выражения (а+1)^2-6а+4 будет целым числом только при a = 2.

Выражение будет являться целым числом при значениях а равных 2 и 3.