При каких значениях b уравнение x^2+bx+25=0 имеет единственный корень подробно пожалуйста

Уравнение (x^2 + bx + 25 = 0) является квадратным уравнением. Для квадратного уравнения вида (ax^2 + bx + c = 0) условие наличия единственного корня заключается в том, что его дискриминант должен быть равен нулю.

Дискриминант (D) квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) определяется как:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае, (a = 1), (b = b), и (c = 25). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

[ D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = b^2 - 100 ]

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю:

[ b^2 - 100 = 0 ]

Решим это уравнение относительно (b):

[ b^2 = 100 ]

Из этого уравнения получаем два значения (b), так как квадратное уравнение имеет два корня:

[ b = \sqrt{100} = 10 \quad \text{или} \quad b = -\sqrt{100} = -10 ]

Таким образом, у уравнения (x^2 + bx + 25 = 0) будет единственный корень, если (b = 10) или (b = -10).

При этих значениях (b), уравнение принимает вид:

1. Если (b = 10), то уравнение (x^2 + 10x + 25 = 0), которое можно переписать как ((x + 5)^2 = 0). Здесь единственный корень (x = -5).

2. Если (b = -10), то уравнение (x^2 - 10x + 25 = 0), которое можно переписать как ((x - 5)^2 = 0). Здесь единственный корень (x = 5).

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при (b = 10) или (b = -10).

Для того чтобы уравнение $x^2 + bx + 25 = 0$ имело единственный корень, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = b$ и $c = 25$.

Таким образом, для того, чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю: $b^2 - 4ac = 0$, $b^2 - 4125 = 0$, $b^2 - 100 = 0$, $b^2 = 100$, $b = ±\sqrt{100}$, $b = ±10$.

Таким образом, уравнение $x^2 + bx + 25 = 0$ имеет единственный корень при значениях $b = 10$ или $b = -10$.