При каких значениях дроби a^3+108-3a^2-36a/a^2-9 равно нулю?

Для того чтобы найти значения дроби, при которых она равна нулю, необходимо решить уравнение, которое получается из условия равенства дроби нулю.

Итак, у нас есть дробь: (a^3 + 108 - 3a^2 - 36a) / (a^2 - 9) = 0.

Сначала упростим числитель: a^3 + 108 - 3a^2 - 36a = a^3 - 3a^2 - 36a + 108.

Теперь поделим числитель на делимое: (a^3 - 3a^2 - 36a + 108) / (a^2 - 9) = 0.

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: a^3 - 3a^2 - 36a + 108 = 0.

Это уравнение третьей степени, и его решение может быть найдено с помощью методов алгебры. В данном случае, возможно применение факторизации или других методов решения уравнений.

Таким образом, значения дроби a^3 + 108 - 3a^2 - 36a / a^2 - 9, при которых она равна нулю, можно найти, решив уравнение a^3 - 3a^2 - 36a + 108 = 0.

Дробь равна нулю при a = 3.

Для того чтобы установить, при каких значениях дробь (\frac{a^3 + 108 - 3a^2 - 36a}{a^2 - 9}) равна нулю, нужно понять, при каких значениях числитель этой дроби становится равным нулю.

Рассмотрим числитель:

[a^3 + 108 - 3a^2 - 36a]

Для нахождения значений (a), при которых эта функция равна нулю, необходимо решить уравнение:

[a^3 + 108 - 3a^2 - 36a = 0]

Для упрощения уравнения приведем его к стандартной форме:

[a^3 - 3a^2 - 36a + 108 = 0]

Для решения кубического уравнения удобно использовать метод группировки.

1. Разделим уравнение на две группы:

[(a^3 - 3a^2) \quad \text{и} \quad (-36a + 108)]

1. Вынесем общий множитель из каждой группы:

[a^2(a - 3) - 36(a - 3) = 0]

1. Теперь вынесем общий множитель ((a - 3)):

[(a - 3)(a^2 - 36) = 0]

1. Рассмотрим уравнение ((a^2 - 36)):

[a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)]

Таким образом, наше уравнение преобразуется в:

[(a - 3)(a - 6)(a + 6) = 0]

Теперь у нас есть три значения, при которых числитель равен нулю:

[a = 3, \quad a = 6, \quad a = -6]

Однако, чтобы дробь была определена и равна нулю, знаменатель (a^2 - 9) не должен быть равен нулю при этих значениях (a).

Проверим значения (a) в знаменателе:

[a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)]

Знаменатель равен нулю при (a = 3) и (a = -3).

Следовательно, значения (a = 3) и (a = -3) исключаются, так как они делают знаменатель равным нулю, что приводит к неопределенности дроби.

Итак, дробь (\frac{a^3 + 108 - 3a^2 - 36a}{a^2 - 9}) равна нулю при:

[a = 6 \quad \text{и} \quad a = -6]