При каких значениях m прямая y = m имеет одну общую точку с графиком функций y=((x+1)(x-2)(x-3))/(2-x)

Прямая y = m имеет одну общую точку с графиком функции y=((x+1)(x-2)(x-3))/(2-x) при значениях m равных -5, 1 и 3.

Чтобы определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет одну общую точку с графиком функции ( y = \frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{2-x} ), нужно исследовать пересечение этой прямой с графиком данной функции.

Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{2-x} ). Для нахождения точек пересечения прямой ( y = m ) и графика функции ( f(x) ), необходимо решить уравнение: [ \frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{2-x} = m. ]

Для удобства, перепишем числитель функции: [ (x+1)(x-2)(x-3) = (x+1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 4x^2 - 5x + 6. ]

Таким образом, уравнение принимает вид: [ \frac{x^3 - 4x^2 - 5x + 6}{2-x} = m. ]

Перепишем его в виде: [ x^3 - 4x^2 - 5x + 6 = m(2 - x). ]

Этот уравнение можно упростить: [ x^3 - 4x^2 - 5x + 6 = 2m - mx. ]

Сгруппируем все члены в одну сторону: [ x^3 - 4x^2 - 5x + mx + 6 - 2m = 0, ] [ x^3 - 4x^2 + (m - 5)x + (6 - 2m) = 0. ]

Теперь у нас есть кубическое уравнение: [ x^3 - 4x^2 + (m - 5)x + (6 - 2m) = 0. ]

Для того чтобы это уравнение имело ровно одно решение (одну точку пересечения), оно должно иметь только один действительный корень. Для этого мы можем исследовать дискриминант уравнения или воспользоваться анализом производной, но для кубических уравнений это может быть сложно.

Однако, на интуитивном уровне можно заметить, что кубическое уравнение обычно имеет три корня (возможно, кратных). Для того чтобы уравнение имело ровно один корень, остальные два корня должны совпадать, то есть у него должен быть один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня, или все три корня должны совпадать.

На практике, проще всего исследовать функцию ( f(x) ) на наличие асимптот и разрывов. В данном случае, функция имеет вертикальную асимптоту при ( x = 2 ) (поскольку знаменатель обращается в ноль при ( x = 2 )).

Теперь рассмотрим поведение функции вокруг этой асимптоты и на бесконечности. Если ( m ) лежит между значениями функции на концах интервала (то есть на ( x \to -\infty ) и ( x \to +\infty )), то, скорее всего, функция пересечет прямую ( y = m ) только один раз.

Для определения точных значений ( m ), при которых прямая пересекает график функции ровно один раз, полезно построить график функции или воспользоваться численными методами для более точного анализа. Построив график, можно точно увидеть области, где прямая ( y = m ) пересекает график функции ровно один раз.

В общем случае, точные значения ( m ) для одного пересечения находятся путем исследования конкретных значений функции и анализа производной: [ f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{2-x} \right). ]

Однако, без графического построения или численного анализа, точные значения ( m ) указать сложно.

Для того чтобы найти значения m, при которых прямая y = m имеет одну общую точку с графиком функции y=((x+1)(x-2)(x-3))/(2-x), необходимо найти точки пересечения этих двух графиков.

Сначала найдем уравнение графика функции y=((x+1)(x-2)(x-3))/(2-x). Для этого раскроем скобки в числителе и выразим функцию в виде уравнения:

y = (x^3 - 4x^2 - x + 6) / (2 - x)

Теперь найдем точку пересечения этой функции с прямой y = m. Для этого приравняем два уравнения друг к другу:

(x^3 - 4x^2 - x + 6) / (2 - x) = m

Далее решим это уравнение относительно x и получим значения x. Затем подставим найденные значения x обратно в уравнение и найдем соответствующие значения y.

Таким образом, значения m, при которых прямая y = m имеет одну общую точку с графиком функции y=((x+1)(x-2)(x-3))/(2-x), можно найти, решив уравнение (x^3 - 4x^2 - x + 6) / (2 - x) = m.