При каких значениях "p" дробь корень из p-1/p-1 принимает наибольшее значение? Помогите пожалуйста, заранее огромное спасибо!
При каких значениях "p" дробь корень из p-1/p-1 принимает наибольшее значение? Помогите пожалуйста, заранее огромное спасибо!
Чтобы найти значения ( p ), при которых дробь (\frac{\sqrt{p-1}}{p-1}) принимает наибольшее значение, сначала упростим и проанализируем выражение.
Рассмотрим функцию:
[ f(p) = \frac{\sqrt{p-1}}{p-1} ]
где ( p > 1 ) (так как подкоренное выражение должно быть положительным и знаменатель не должен быть нулём).
Упростим выражение:
Запишем функцию как:
[ f(p) = (p-1)^{-1/2} ]
Здесь мы используем свойство степеней, чтобы выразить дробь через степень.
Найдём производную:
Чтобы определить, при каких ( p ) функция достигает экстремума, найдём первую производную:
[ f'(p) = \frac{d}{dp} (p-1)^{-1/2} = -\frac{1}{2}(p-1)^{-3/2} ]
Исследуем знак производной:
Поскольку производная ( f'(p) = -\frac{1}{2}(p-1)^{-3/2} ) всегда отрицательна для ( p > 1 ), это значит, что функция ( f(p) ) убывает на данном интервале. Следовательно, наибольшее значение достигается в точке, ближайшей к левому концу допустимого интервала, то есть при ( p \to 1^+ ).
Предел при ( p \to 1^+ ):
Исследуем поведение функции при ( p \to 1^+ ):
[ \lim{p \to 1^+} f(p) = \lim{p \to 1^+} (p-1)^{-1/2} = +\infty ]
Таким образом, функция стремится к бесконечности, когда ( p ) стремится к 1 справа.
Наибольшее значение дробь (\frac{\sqrt{p-1}}{p-1}) принимает при ( p \to 1^+ ). Однако в точке ( p = 1 ) функция не определена. Поэтому формально можно сказать, что функция не имеет наибольшего значения в классическом смысле на промежутке ( p > 1 ), но она стремится к бесконечности при приближении ( p ) к 1 справа.
Наибольшее значение дробь корень из p-1/p-1 принимает при p=2.
Для нахождения наибольшего значения дроби $\frac{\sqrt{p-1}}{p-1}$ нужно найти максимум этого выражения. Для этого можем воспользоваться производной.
Обозначим данную функцию как $f(p) = \frac{\sqrt{p-1}}{p-1}$.
Сначала найдем производную функции $f(p)$:
$f'(p) = \frac{d}{dp}(\frac{\sqrt{p-1}}{p-1}) = \frac{(p-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (p-1) - \sqrt{p-1} \cdot (-1)}{(p-1)^2} = \frac{1}{(p-1)^\frac{3}{2}}$
Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
$\frac{1}{(p-1)^\frac{3}{2}} = 0$
Так как знаменатель не может быть равен нулю, экстремумов у функции нет. Значит, наибольшее значение дроби $\frac{\sqrt{p-1}}{p-1}$ не ограничено и стремится к бесконечности при $p \to 1$.
