При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение: a) x/x-2 б) b+4/ b2 +7 в) y2 - 1/y...

a) В выражении x/(x-2) переменная x не должна равняться 2, так как в знаменателе будет происходить деление на ноль, что не имеет математического смысла. Таким образом, для этого выражения смысл имеет любое значение переменной x, кроме x=2.

б) В выражении (b+4)/(b^2+7) переменная b не должна удовлетворять условию b^2+7=0, так как в знаменателе будет происходить деление на ноль. Уравнение b^2+7=0 не имеет действительных корней, поэтому для этого выражения смысл имеет любое значение переменной b.

в) В выражении y^2 - 1/(y+y-3) переменная y не должна равняться 0 и y не должна равняться 3, так как в знаменателе будет происходить деление на ноль. Таким образом, для этого выражения смысл имеет любое значение переменной y, кроме y=0 и y=3.

г) В выражении (a+10)/(a(a-1)-1) переменная a не должна удовлетворять условию a(a-1)-1=0, так как в знаменателе будет происходить деление на ноль. Уравнение a(a-1)-1=0 имеет два корня: a=1 и a=-1. Таким образом, для этого выражения смысл имеет любое значение переменной a, кроме a=1 и a=-1.

Когда мы говорим о смысле рационального выражения, мы подразумеваем, что выражение определено и не приводит к делению на ноль. Деление на ноль в математике не имеет смысла, поэтому мы ищем значения переменной, при которых знаменатель не равен нулю. Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

a) ( \frac{x}{x-2} )

Это выражение имеет смысл, если знаменатель ( x-2 ) не равен нулю. То есть: [ x - 2 \neq 0 ] [ x \neq 2 ]

Таким образом, выражение имеет смысл при всех ( x ), кроме ( x = 2 ).

б) ( \frac{b+4}{b^2 + 7} )

Здесь знаменатель ( b^2 + 7 ). Поскольку ( b^2 ) всегда неотрицательно и добавление 7 делает его всегда положительным, то: [ b^2 + 7 > 0 ]

Таким образом, знаменатель никогда не будет равен нулю, и выражение имеет смысл при всех значениях ( b ).

в) ( \frac{y^2 - 1}{y} + \frac{y}{y-3} )

Здесь у нас два выражения, которые нужно рассмотреть отдельно:

1. ( \frac{y^2 - 1}{y} ): Знаменатель ( y ) не должен быть равен нулю: [ y \neq 0 ]

2. ( \frac{y}{y-3} ): Знаменатель ( y-3 ) не должен быть равен нулю: [ y - 3 \neq 0 ] [ y \neq 3 ]

Таким образом, объединяя оба ограничения, выражение имеет смысл при всех ( y ), кроме ( y = 0 ) и ( y = 3 ).

г) ( \frac{a + 10}{a(a-1) - 1} )

Рассмотрим знаменатель ( a(a-1) - 1 ): [ a(a-1) - 1 \neq 0 ] [ a^2 - a - 1 \neq 0 ]

Чтобы найти значения ( a ), при которых знаменатель равен нулю, решим квадратное уравнение: [ a^2 - a - 1 = 0 ]

Используя формулу квадратного уравнения ( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), где ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -1 ): [ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} ] [ a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} ]

Таким образом, знаменатель равен нулю при: [ a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ] или [ a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ]

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях ( a ), кроме: [ a \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ] и [ a \neq \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ]

Итак, подведем итог:

• ( \frac{x}{x-2} ) имеет смысл при ( x \neq 2 ).
• ( \frac{b+4}{b^2 + 7} ) имеет смысл при всех ( b ).
• ( \frac{y^2 - 1}{y} + \frac{y}{y-3} ) имеет смысл при ( y \neq 0 ) и ( y \neq 3 ).
• ( \frac{a + 10}{a(a-1) - 1} ) имеет смысл при ( a \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ) и ( a \neq \frac{1 - \sqrt{5}}{2} ).