При каких значениях x дробь (корень x -2)/(x-4) принимает наибольшее значение?

Для нахождения наибольшего значения дроби (корень x - 2)/(x - 4) нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Найдем производную этой функции:

f(x) = (sqrt(x) - 2)/(x - 4)

f'(x) = ((x^(1/2) - 2)(1) - (sqrt(x) - 2)(1))/(x - 4)^2 f'(x) = (x^(1/2) - 2 - sqrt(x) + 2)/(x - 4)^2 f'(x) = (x^(1/2) - sqrt(x))/(x - 4)^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

(x^(1/2) - sqrt(x))/(x - 4)^2 = 0

x^(1/2) - sqrt(x) = 0 x^(1/2) = sqrt(x)

x = 0

Таким образом, наибольшее значение дроби (корень x - 2)/(x - 4) достигается при x = 0.

Рассмотрим дробь (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}) и определим, при каких значениях (x) она принимает наибольшее значение.

Для начала отметим, что выражение (\sqrt{x}) определено только для (x \geq 0). Таким образом, область определения дроби — это (x \geq 0), за исключением точки (x = 4), где знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла. Значит, область определения функции — (x \in [0, 4) \cup (4, \infty)).

Теперь рассмотрим поведение функции (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}). Для нахождения экстремальных значений функции можно использовать производную.

Обозначим: [ y = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} ]

Найдем производную (y) по (x) с помощью правила производной частного: [ y' = \frac{(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}} ]

Здесь (u = \sqrt{x} - 2) и (v = x - 4).

Найдем производные (u') и (v'): [ u' = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} - 2) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ] [ v' = \frac{d}{dx} (x - 4) = 1 ]

Теперь подставим в формулу производной: [ y' = \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x - 4) - (\sqrt{x} - 2)(1)}{(x - 4)^2} ] [ y' = \frac{\frac{x - 4}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} + 2}{(x - 4)^2} ]

Приведем выражение в числителе к общему знаменателю (2\sqrt{x}): [ y' = \frac{x - 4 - 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{2\sqrt{x}(x - 4)^2} ] [ y' = \frac{x - 4 - (2x - 4\sqrt{x})}{2\sqrt{x}(x - 4)^2} ] [ y' = \frac{x - 4 - 2x + 4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x - 4)^2} ] [ y' = \frac{-x + 4\sqrt{x} - 4}{2\sqrt{x}(x - 4)^2} ]

Теперь найдём, где производная равна нулю: [ -x + 4\sqrt{x} - 4 = 0 ] [ 4\sqrt{x} = x + 4 ] Возведем обе части в квадрат: [ 16x = (x + 4)^2 ] [ 16x = x^2 + 8x + 16 ] [ x^2 - 8x + 16 = 0 ] [ (x - 4)^2 = 0 ] [ x = 4 ]

Однако, как мы уже отметили, в точке (x = 4) функция не определена. Следовательно, мы должны исследовать поведение функции на границах области определения и на бесконечности.

Проверим значения функции в окрестностях точки (x = 4):

• При (x \to 4^-): [ y = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \to -\infty ]
• При (x \to 4^+): [ y = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \to +\infty ]

На концах области определения:

• При (x \to 0): [ y = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \to \frac{0 - 2}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} ]
• При (x \to \infty): [ y = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \to 0 ]

Таким образом, наибольшее значение дробь (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}) принимает при (x \to 4^+) и стремится к (+\infty).