При каком значении a выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+a является полным квадратом? *

Чтобы разобраться, при каком значении ( a ) выражение ((x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + a) является полным квадратом, начнем с упрощения самого выражения ((x+2)(x+4)(x+6)(x+8)).

Для этого воспользуемся методом разложения на множители и группировкой:

1. Обозначим ( y = x + 5 ). Тогда выражение перепишется как: [ (y-3)(y-1)(y+1)(y+3) ]

2. Заметим, что выражение ((y-3)(y-1)(y+1)(y+3)) можно упростить, используя свойства произведения парных разностей: [ (y-3)(y+3) = y^2 - 9 ] [ (y-1)(y+1) = y^2 - 1 ]

3. Таким образом, исходное выражение становится: [ (y^2 - 9)(y^2 - 1) ]

4. Теперь раскроем скобки: [ (y^2 - 9)(y^2 - 1) = y^4 - y^2 - 9y^2 + 9 = y^4 - 10y^2 + 9 ]

5. Вспомним, что ( y = x + 5 ). Тогда вернемся к переменной ( x ): [ (x+5)^4 - 10(x+5)^2 + 9 ]

Теперь мы ищем такое значение ( a ), чтобы выражение ((x+5)^4 - 10(x+5)^2 + 9 + a) стало полным квадратом.

1. Обозначим ( z = (x+5)^2 ). Тогда у нас получится выражение: [ z^2 - 10z + 9 + a ]

2. Для того чтобы ( z^2 - 10z + 9 + a ) было полным квадратом, его дискриминант должен быть равен нулю. Чтобы это понять, выразим квадратный трёхчлен в виде полного квадрата. Пусть: [ z^2 - 10z + 9 + a = (z - b)^2 ]

3. Раскроем квадрат справа: [ (z - b)^2 = z^2 - 2bz + b^2 ]

Сравним коэффициенты: [ z^2 - 10z + 9 + a = z^2 - 2bz + b^2 ]

Сравнивая коэффициенты при ( z ) и свободный член, получаем: [ -2b = -10 \implies b = 5 ] и [ b^2 = 9 + a ] [ 5^2 = 25 \implies 25 = 9 + a ]

Отсюда: [ a = 25 - 9 = 16 ]

Таким образом, значение ( a ) равно 16. При этом выражение ((x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 16) будет полным квадратом.

Для того чтобы выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+a было полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы оно можно было представить в виде квадрата некоторого многочлена.

Для начала перемножим все скобки в выражении (x+2)(x+4)(x+6)(x+8):

(x+2)(x+4)(x+6)(x+8) = (x^2 + 2x)(x^2 + 8x + 6) = (x^2 + 2x)(x^2 + 8x) + (x^2 + 2x)(6) = x^4 + 8x^3 + 2x^3 + 16x^2 + 6x^2 + 12x = x^4 + 10x^3 + 22x^2 + 12x

Теперь, чтобы выразить данное выражение в виде полного квадрата, нужно добавить к нему такой член, чтобы получился квадрат некоторого многочлена. Общий подход к такому решению заключается в том, чтобы половину коэффициента при x в исходном многочлене возвести в квадрат и добавить его к многочлену.

Таким образом, чтобы выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+a было полным квадратом, необходимо, чтобы a было равно квадрату половины коэффициента при x в многочлене x^4 + 10x^3 + 22x^2 + 12x:

a = (10/2)^2 = 25

Поэтому, при значении a = 25 данное выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+25 является полным квадратом.