При каком значении параметра р уравнение х^2+рх+16=0 имеет один корень?Чему равен этот корень?

Чтобы уравнение (x^2 + px + 16 = 0) имело один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Рассмотрим это подробнее.

Шаг 1. Формула дискриминанта

Квадратное уравнение общего вида (ax^2 + bx + c = 0) имеет дискриминант, который вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ] Для нашего уравнения:

• (a = 1),
• (b = p),
• (c = 16).

Подставим эти значения в формулу дискриминанта: [ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = p^2 - 64 ]

Шаг 2. Условие для одного корня

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю: [ D = 0. ] Приравняем дискриминант к нулю: [ p^2 - 64 = 0. ]

Шаг 3. Решение уравнения для (p)

Решим уравнение (p^2 - 64 = 0): [ p^2 = 64. ] [ p = \pm 8. ]

Таким образом, параметр (p) может быть равен либо (8), либо (-8).

Шаг 4. Найдём корень уравнения

Если уравнение имеет один корень, то он находится по формуле: [ x = \frac{-b}{2a}. ] Для нашего уравнения:

• (a = 1),
• (b = p).

Подставим значения: [ x = \frac{-p}{2}. ]

1. Если (p = 8), то: [ x = \frac{-8}{2} = -4. ]

2. Если (p = -8), то: [ x = \frac{-(-8)}{2} = \frac{8}{2} = 4. ]

Ответ

• Уравнение (x^2 + px + 16 = 0) имеет один корень при (p = 8) или (p = -8).
• Если (p = 8), то корень равен (x = -4).
• Если (p = -8), то корень равен (x = 4).

Чтобы определить, при каком значении параметра ( p ) уравнение ( x^2 + px + 16 = 0 ) имеет один корень, необходимо рассмотреть дискриминант этого квадратного уравнения.

Для квадратного уравнения общего вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае ( a = 1 ), ( b = p ), ( c = 16 ). Подставляя эти значения, получаем:

[ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = p^2 - 64 ]

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю:

[ D = 0 \implies p^2 - 64 = 0 ]

Решая это уравнение, мы можем выразить ( p ):

[ p^2 = 64 ]

[ p = \pm 8 ]

Таким образом, уравнение ( x^2 + px + 16 = 0 ) имеет один корень при ( p = 8 ) или ( p = -8 ).

Теперь найдем этот корень. Для этого подставим найденные значения ( p ) обратно в уравнение и найдем корень с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-p}{2 \cdot 1} = \frac{-p}{2} ]

1. Для ( p = 8 ):

[ x = \frac{-8}{2} = -4 ]

1. Для ( p = -8 ):

[ x = \frac{-(-8)}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

Таким образом, уравнение ( x^2 + px + 16 = 0 ) имеет один корень при значении ( p = 8 ) и этот корень равен ( -4 ), а также при ( p = -8 ) и этот корень равен ( 4 ).