Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график 1) f (x)=5-2x 2) f (x)=3-2x-x^

Для исследования функций и построения их графиков следуем общей схеме анализа функций. Рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. Функция: ( f(x) = 5 - 2x )

1.1. Область определения.

Функция ( f(x) = 5 - 2x ) является линейной, так как ( f(x) ) представлена как многочлен первой степени. Линейные функции определены на всей числовой оси. Область определения: ( D(f) = \mathbb{R} ).

1.2. Нули функции.

Найдем ( x ), при которых ( f(x) = 0 ): [ 5 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2}. ] Таким образом, функция обращается в ноль при ( x = \frac{5}{2} ).

1.3. Поведение функции (возрастание/убывание).

Коэффициент при ( x ) равен ( -2 ). Поскольку он отрицателен, функция убывает на всей области определения. График линейной функции — это прямая линия с наклоном вниз.

1.4. Построение графика.

График функции ( f(x) = 5 - 2x ) — это прямая. Для построения достаточно двух точек:

1. При ( x = 0 ): ( f(0) = 5 ) (точка ( (0; 5) )).
2. При ( x = 1 ): ( f(1) = 5 - 2 \cdot 1 = 3 ) (точка ( (1; 3) )).

Соединяем точки ( (0; 5) ) и ( (1; 3) ), проводим прямую, учитывая, что она убывает.

2. Функция: ( f(x) = 3 - 2x - x^2 )

2.1. Область определения.

Функция ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ) является многочленом второй степени (квадратичной функцией). Квадратичные функции определены на всей числовой оси. Область определения: ( D(f) = \mathbb{R} ).

2.2. Нули функции.

Найдем ( x ), при которых ( f(x) = 0 ), решив уравнение: [ 3 - 2x - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 - 2x + 3 = 0. ] Умножим на ( -1 ), чтобы упростить: [ x^2 + 2x - 3 = 0. ] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. ] Корни: [ x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1. ] Таким образом, ( f(x) = 0 ) при ( x = -3 ) и ( x = 1 ).

2.3. Поведение функции (возрастание/убывание).

Коэффициент при ( x^2 ) равен ( -1 ), то есть ветви параболы направлены вниз. Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, найдем вершину параболы.

Координаты вершины: [ x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1. ] Соответствующее значение функции: [ f(-1) = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4. ] Вершина параболы: ( (-1; 4) ).

Интервалы возрастания и убывания:

• На интервале ( (-\infty; -1) ): ( f(x) ) возрастает.
• На интервале ( (-1; +\infty) ): ( f(x) ) убывает.

2.4. Построение графика.

Для построения графика функции ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ) определим несколько точек:

1. Вершина: ( (-1; 4) ).
2. Нули: ( (-3; 0) ) и ( (1; 0) ).
3. Дополнительные точки:
   • При ( x = 0 ): ( f(0) = 3 - 2 \cdot 0 - 0^2 = 3 ) (точка ( (0; 3) )).
   • При ( x = -2 ): ( f(-2) = 3 - 2(-2) - (-2)^2 = 3 + 4 - 4 = 3 ) (точка ( (-2; 3) )).

График — парабола, проходящая через точки ( (-3; 0) ), ( (-2; 3) ), ( (-1; 4) ), ( (0; 3) ), ( (1; 0) ), с вершиной в точке ( (-1; 4) ). Ветви направлены вниз.

Итог:

1. График первой функции ( f(x) = 5 - 2x ) — это убывающая прямая.
2. График второй функции ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ) — это парабола с вершиной в точке ( (-1; 4) ), ветви которой направлены вниз.

Для исследования функций и построения их графиков, мы рассмотрим каждую функцию поэтапно.

1) Исследование функции ( f(x) = 5 - 2x )

1.1. Определение области определения:
Функция ( f(x) = 5 - 2x ) является линейной, и ее область определения — все действительные числа: ( x \in \mathbb{R} ).

1.2. Нахождение нуля функции:
Чтобы найти нуль функции, решим уравнение ( f(x) = 0 ): [ 5 - 2x = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} ]

1.3. Нахождение значений функции:
Можно вычислить значение функции в нескольких точках:

• ( f(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5 )
• ( f(1) = 5 - 2 \cdot 1 = 3 )
• ( f(2) = 5 - 2 \cdot 2 = 1 )
• ( f(3) = 5 - 2 \cdot 3 = -1 )

1.4. Исследование знака функции:

• При ( x < \frac{5}{2} ), ( f(x) > 0 ) (функция положительна).
• При ( x = \frac{5}{2} ), ( f(x) = 0 ).
• При ( x > \frac{5}{2} ), ( f(x) < 0 ) (функция отрицательна).

1.5. Нахождение производной:
Производная функции: [ f'(x) = -2 ] Производная постоянная, что указывает на то, что функция убывает на всей области определения.

1.6. Построение графика:
График функции — прямая линия с отрицательным наклоном. Пересечение с осью Y происходит в точке ( (0, 5) ), а с осью X — в точке ( \left(\frac{5}{2}, 0\right) ).

2) Исследование функции ( f(x) = 3 - 2x - x^2 )

2.1. Определение области определения:
Функция ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ) также определена для всех действительных чисел ( x \in \mathbb{R} ).

2.2. Нахождение нуля функции:
Решим уравнение ( f(x) = 0 ): [ 3 - 2x - x^2 = 0 \implies -x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 ] Используем формулу квадратного корня: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} ] Таким образом, корни: [ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 ]

2.3. Нахождение значений функции:
Выразим значение функции в нескольких точках:

• ( f(0) = 3 - 2 \cdot 0 - 0^2 = 3 )
• ( f(1) = 3 - 2 \cdot 1 - 1^2 = 0 )
• ( f(-3) = 3 - 2 \cdot (-3) - (-3)^2 = 3 + 6 - 9 = 0 )

2.4. Исследование знака функции:
Функция представляет собой параболу, открывающуюся вниз (коэффициент при ( x^2 ) отрицательный). Чтобы определить интервалы знака, исследуем функцию на промежутках, заданных корнями:

• При ( x < -3 ), ( f(x) > 0 ) (функция положительна).
• При ( -3 < x < 1 ), ( f(x) < 0 ) (функция отрицательна).
• При ( x = -3 ) и ( x = 1 ), ( f(x) = 0 ).
• При ( x > 1 ), ( f(x) > 0 ) (функция снова положительна).

2.5. Нахождение производной:
Производная функции: [ f'(x) = -2 - 2x ] Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [ -2 - 2x = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1 ] Проверим знак производной:

• При ( x < -1 ), ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает).
• При ( x = -1 ), ( f'(x) = 0 ) (точка максимума).
• При ( x > -1 ), ( f'(x) < 0 ) (функция убывает).

2.6. Нахождение максимума:
Подставим ( x = -1 ) в функцию: [ f(-1) = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4 ] Таким образом, максимальное значение функции ( f(x) ) равно 4 и достигается при ( x = -1 ).

2.7. Построение графика:
График функции — парабола, открытая вниз с вершиной в точке ( (-1, 4) ). Пересечения с осью X в точках ( (1, 0) ) и ( (-3, 0) ), пересечение с осью Y в точке ( (0, 3) ).

Графики функций:

1. График ( f(x) = 5 - 2x ) — прямая с отрицательным наклоном.
2. График ( f(x) = 3 - 2x - x^2 ) — парабола, открытая вниз.

Эти графики могут быть построены с помощью графических калькуляторов или программного обеспечения для построения графиков.