Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 2. Найдите высоту этого треугольника.

Чтобы найти высоту правильного треугольника, зная радиус описанной окружности, воспользуемся свойствами правильных треугольников.

В правильном треугольнике радиус описанной окружности ( R ) связан со стороной треугольника ( a ) следующим образом:

[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]

Нам дано, что радиус описанной окружности ( R = 2 ). Подставим это значение в формулу:

[ 2 = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]

Отсюда находим сторону треугольника ( a ):

[ a = 2\sqrt{3}. ]

Теперь найдем высоту правильного треугольника. Высота ( h ) в правильном треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника, где высота является катетом, а гипотенуза равна стороне треугольника. Высота ( h ) связана со стороной ( a ) следующим образом:

[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a. ]

Подставим значение ( a = 2\sqrt{3} ) в эту формулу:

[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3}. ]

Упростим выражение:

[ h = \frac{\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}}{2}. ]

[ h = \frac{2 \times 3}{2}. ]

[ h = 3. ]

Таким образом, высота правильного треугольника равна 3.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства правильного треугольника.

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен половине длины стороны треугольника. Пусть сторона треугольника равна а, тогда радиус окружности равен r = a/2 = 2.

Таким образом, сторона треугольника равна a = 4.

Высота правильного треугольника, проведенная к его основанию, является биссектрисой и медианой и делит треугольник на два равнобедренных треугольника.

Так как у нас правильный треугольник, то его высота является медианой и биссектрисой, а значит она делит треугольник на два равнобедренных треугольника.

Таким образом, высота равна h = √(a² - (a/2)²) = √(4² - (4/2)²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3.

Итак, высота правильного треугольника, описанного около окружности радиусом 2, равна 2√3.

Высота правильного треугольника равна радиусу окружности, умноженному на √3. Следовательно, высота треугольника равна 2√3.