РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРИСТАНЯМИ 112 КМ. ДВИГАЯСЬ ПО ТЕЧЕНИЮ, КАТЕР ПРОШЕЛ ЭТО РАССТОЯНИЕ НА 1 ЧАС БЫСТРЕЕ...

Пусть скорость катера в стоячей воде равна V км/ч, тогда при движении по течению его скорость будет равна (V+1) км/ч, а против течения (V-1) км/ч. По формуле расстояние = скорость время имеем: 112 = (V+1) t1, 112 = (V-1) t2, где t1 и t2 - время движения катера по течению и против течения соответственно. Так как катер прошел расстояние на 1 час быстрее по течению, то t1 = t2 - 1. Подставляем значения и получаем систему уравнений: 112 = (V+1) (t2-1), 112 = (V-1) * t2. Решив систему уравнений, найдем V = 5 км/ч - собственная скорость катера в стоячей воде, и Vт = 1 км/ч - скорость течения.

Рассмотрим задачу более детально. Пусть ( v ) — собственная скорость катера в км/ч, а ( v_{\text{течения}} = 1 ) км/ч — скорость течения реки.

1. Движение по течению:

Скорость катера по течению: [ v{\text{по течению}} = v + v{\text{течения}} = v + 1. ]

Время, затраченное на путь по течению: [ t_{\text{по течению}} = \frac{112}{v + 1}. ]

1. Движение против течения:

Скорость катера против течения: [ v{\text{против течения}} = v - v{\text{течения}} = v - 1. ]

Время, затраченное на путь против течения: [ t_{\text{против течения}} = \frac{112}{v - 1}. ]

1. Условие задачи:

По условию задачи известно, что катер прошел расстояние по течению на 1 час быстрее, чем обратный путь против течения: [ t{\text{против течения}} = t{\text{по течению}} + 1. ]

Подставим выражения для времени: [ \frac{112}{v - 1} = \frac{112}{v + 1} + 1. ]

1. Решение уравнения:

Приведем обе части уравнения к общему знаменателю: [ \frac{112}{v - 1} - \frac{112}{v + 1} = 1. ]

Найдем общий знаменатель и упростим: [ \frac{112(v + 1) - 112(v - 1)}{(v - 1)(v + 1)} = 1. ]

Раскроем скобки в числителе: [ \frac{112v + 112 - 112v + 112}{v^2 - 1} = 1. ]

Сократим: [ \frac{224}{v^2 - 1} = 1. ]

Умножим обе части уравнения на ( v^2 - 1 ): [ 224 = v^2 - 1. ]

Решим квадратное уравнение: [ v^2 - 1 = 224. ] [ v^2 = 225. ] [ v = \sqrt{225}. ] [ v = 15. ]

Таким образом, собственная скорость катера составляет ( 15 ) км/ч.

Проверка:

Время по течению: [ t_{\text{по течению}} = \frac{112}{15 + 1} = \frac{112}{16} = 7 \text{ часа}. ]

Время против течения: [ t_{\text{против течения}} = \frac{112}{15 - 1} = \frac{112}{14} = 8 \text{ часов}. ]

Разница во времени соответствует условию задачи: [ 8 - 7 = 1 \text{ час}. ]

Таким образом, решение верно. Собственная скорость катера действительно составляет ( 15 ) км/ч.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна V км/ч, а скорость течения реки равна 1 км/ч. Тогда при движении по течению скорость катера будет равна V + 1 км/ч, а против течения - V - 1 км/ч.

Мы знаем, что катер прошел расстояние между пристанями за 1 час быстрее по течению, чем против течения. Следовательно, время движения по течению равно времени движения против течения + 1 час.

Таким образом, можно составить уравнение:

112 / (V + 1) = 112 / (V - 1) + 1

Решив это уравнение, найдем собственную скорость катера в стоячей воде:

112 / (V + 1) = 112 / (V - 1) + 1 112(V - 1) = 112(V + 1) + V^2 - 1 112V - 112 = 112V + 112 + V^2 - 1 V^2 - 1 = 224 V^2 = 225 V = 15

Таким образом, собственная скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч.