РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРИСТАНЯМИ 112 КМ. ДВИГАЯСЬ ПО ТЕЧЕНИЮ, КАТЕР ПРОШЕЛ ЭТО РАССТОЯНИЕ НА 1 ЧАС БЫСТРЕЕ...

Пусть скорость катера в стоячей воде равна V км/ч, тогда при движении по течению его скорость будет равна $V+1$ км/ч, а против течения $V-1$ км/ч. По формуле расстояние = скорость время имеем: 112 = $V+1$ t1, 112 = $V-1$ t2, где t1 и t2 - время движения катера по течению и против течения соответственно. Так как катер прошел расстояние на 1 час быстрее по течению, то t1 = t2 - 1. Подставляем значения и получаем систему уравнений: 112 = $V+1$ $t2-1$, 112 = $V-1$ * t2. Решив систему уравнений, найдем V = 5 км/ч - собственная скорость катера в стоячей воде, и Vт = 1 км/ч - скорость течения.

Рассмотрим задачу более детально. Пусть $v$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_{\text{течения}}=1$ км/ч — скорость течения реки.

1. Движение по течению:

Скорость катера по течению: [ v{\text{по течению}} = v + v{\text{течения}} = v + 1. ]

Время, затраченное на путь по течению: $t_{\text{по течению}}=\frac{112}{v+1}.$

1. Движение против течения:

Скорость катера против течения: [ v{\text{против течения}} = v - v{\text{течения}} = v - 1. ]

Время, затраченное на путь против течения: $t_{\text{против течения}}=\frac{112}{v-1}.$

1. Условие задачи:

По условию задачи известно, что катер прошел расстояние по течению на 1 час быстрее, чем обратный путь против течения: [ t{\text{против течения}} = t{\text{по течению}} + 1. ]

Подставим выражения для времени: $\frac{112}{v-1}=\frac{112}{v+1}+1.$

1. Решение уравнения:

Приведем обе части уравнения к общему знаменателю: $\frac{112}{v-1}-\frac{112}{v+1}=1.$

Найдем общий знаменатель и упростим: $\frac{112(v+1)-112(v-1)}{(v-1)(v+1)}=1.$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{112v+112-112v+112}{v^2-1}=1.$

Сократим: $\frac{224}{v^2-1}=1.$

Умножим обе части уравнения на $v^2-1$: $224=v^2-1.$

Решим квадратное уравнение: $v^2-1=224.$ $v^2=225.$ $v=\sqrt{225}.$ $v=15.$

Таким образом, собственная скорость катера составляет $15$ км/ч.

Проверка:

Время по течению: $t_{\text{по течению}}=\frac{112}{15+1}=\frac{112}{16}=7\text{ часа}.$

Время против течения: $t_{\text{против течения}}=\frac{112}{15-1}=\frac{112}{14}=8\text{ часов}.$

Разница во времени соответствует условию задачи: $8-7=1\text{ час}.$

Таким образом, решение верно. Собственная скорость катера действительно составляет $15$ км/ч.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна V км/ч, а скорость течения реки равна 1 км/ч. Тогда при движении по течению скорость катера будет равна V + 1 км/ч, а против течения - V - 1 км/ч.

Мы знаем, что катер прошел расстояние между пристанями за 1 час быстрее по течению, чем против течения. Следовательно, время движения по течению равно времени движения против течения + 1 час.

Таким образом, можно составить уравнение:

112 / $V+1$ = 112 / $V-1$ + 1

Решив это уравнение, найдем собственную скорость катера в стоячей воде:

112 / $V+1$ = 112 / $V-1$ + 1 112$V-1$ = 112$V+1$ + V^2 - 1 112V - 112 = 112V + 112 + V^2 - 1 V^2 - 1 = 224 V^2 = 225 V = 15

Таким образом, собственная скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч.