Разложи на множители x3y2-xy-x3+x

Для разложения на множители выражения ( x^3y^2 - xy - x^3 + x ) начнем с группировки подобных членов. Мы можем сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое.

Исходное выражение можно записать как:

[ (x^3y^2 - x^3) + (-xy + x) ]

Теперь выделим общий множитель в каждой группе:

1. В первой группе ( x^3y^2 - x^3 ) общий множитель ( x^3 ): [ x^3(y^2 - 1) ]

2. Во второй группе ( -xy + x ) общий множитель ( -x ): [ -x(y - 1) ]

Теперь мы можем переписать исходное выражение, используя найденные множители:

[ x^3(y^2 - 1) - x(y - 1) ]

Теперь у нас есть два выражения с общими множителями. Обратим внимание, что ( y^2 - 1 ) можно разложить на множители как разность квадратов:

[ y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) ]

Таким образом, подставив это обратно в выражение, мы получаем:

[ x^3(y - 1)(y + 1) - x(y - 1) ]

Теперь мы можем выделить общий множитель ( (y - 1) ):

[ (y - 1)(x^3(y + 1) - x) ]

Теперь упростим выражение в скобках:

[ x^3(y + 1) - x = x(x^2(y + 1) - 1) ]

Таким образом, окончательно, мы можем переписать разложенное выражение:

[ (y - 1)(x(x^2(y + 1) - 1)) ]

На этом этапе выражение полностью разложено на множители. Окончательный результат:

[ (x(y - 1)(x^2(y + 1) - 1)) ]

Это и есть разложение данного выражения на множители.

Чтобы разложить выражение ( x^3y^2 - xy - x^3 + x ) на множители, нужно следовать пошаговому процессу. Давайте разберём это подробно:

Шаг 1. Группировка членов

Выражение выглядит так: [ x^3y^2 - xy - x^3 + x ] Попробуем сгруппировать члены, чтобы выделить общие множители. Перепишем его следующим образом: [ (x^3y^2 - x^3) + (-xy + x) ]

Шаг 2. Вынесение общих множителей в каждой группе

Рассмотрим первую группу ( x^3y^2 - x^3 ). В ней общий множитель — ( x^3 ). Вынесем его за скобки: [ x^3(y^2 - 1) ]

Теперь рассмотрим вторую группу ( -xy + x ). Здесь общий множитель — ( x ). Вынесем его за скобки: [ x(-y + 1) ]

Таким образом, выражение приобретает вид: [ x^3(y^2 - 1) + x(-y + 1) ]

Шаг 3. Проверка дальнейшего вынесения общего множителя

Во всём выражении общий множитель — ( x ). Вынесем ( x ) за скобки: [ x \big( x^2(y^2 - 1) + (-y + 1) \big) ]

Шаг 4. Распознавание разности квадратов

Обратим внимание на выражение ( y^2 - 1 ). Это разность квадратов: [ y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) ]

Подставим это в выражение: [ x \big( x^2(y - 1)(y + 1) + (-y + 1) \big) ]

Шаг 5. Вынесение ( (y - 1) ) за скобки

Заметим, что внутри скобок есть общий множитель ( (y - 1) ). Вынесем его: [ x(y - 1) \big( x^2(y + 1) - 1 \big) ]

Шаг 6. Упрощение

Выражение ( x^2(y + 1) - 1 ) больше не упрощается. Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: [ x(y - 1) \big( x^2(y + 1) - 1 \big) ]

Ответ:

Разложение выражения ( x^3y^2 - xy - x^3 + x ) на множители: [ x(y - 1) \big( x^2(y + 1) - 1 \big) ]