. Разложить на множители: а) (x – y)^2 – y^2; б) c^3 + d^3 – 3cd(c + d). 2. Доказать, что разность квадратов...

а) а) (x – y)^2 – y^2 = (x - y + y)(x - y - y) = (x)(x - 2y)

б) c^3 + d^3 – 3cd(c + d) = (c + d)(c^2 - cd + d^2) - 3cd(c + d) = (c + d)(c^2 - cd + d^2 - 3cd) = (c + d)(c^2 - 4cd + d^2)

1. Пусть первое нечетное число равно 2n + 1, а второе нечетное число равно 2n + 3. Тогда разность квадратов двух последовательных нечетных чисел равна (2n + 3)^2 - (2n + 1)^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1), что делится на 8.

2. 14^4 – 165^2 + 138^2 – 107^2 = (14^2)^2 - 165^2 + 138^2 - 107^2 = (14^2 + 165)(14^2 - 165) + 138^2 - 107^2 = (14^2 + 165)(14^2 - 165) + (138 + 107)(138 - 107) = (14^2 + 165)(14^2 - 165) + (138 + 107)(138 - 107) = (14 + 165)(14 - 165) + (138 + 107)(138 - 107) = 179(−151) + 245(31) = -27029 + 7595 = -19434, что кратно 31.

Конечно, давайте разберем каждый из вопросов по очереди:

1. Разложение на множители

а) (x – y)^2 – y^2

Это выражение можно разложить с использованием формулы разности квадратов, которая выглядит так: ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ).

В нашем случае:

• ( a = x - y )
• ( b = y )

Применяя формулу: [ (x - y)^2 - y^2 = [(x - y) - y][(x - y) + y] ]

Упрощаем: [ [(x - y) - y][(x - y) + y] = (x - y - y)(x - y + y) = (x - 2y)(x) ]

Итак, разложение на множители: [ (x - y)^2 - y^2 = x(x - 2y) ]

б) ( c^3 + d^3 – 3cd(c + d) )

Сначала упростим выражение. Используем формулу суммы кубов: [ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ]

Тогда: [ c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2) ]

Теперь подставим это в исходное выражение: [ c^3 + d^3 – 3cd(c + d) = (c + d)(c^2 - cd + d^2) - 3cd(c + d) ]

Замечаем, что в обоих слагаемых можно вынести общий множитель ( (c + d) ): [ = (c + d)(c^2 - cd + d^2 - 3cd) ]

Упрощаем: [ = (c + d)(c^2 - 4cd + d^2) ]

Таким образом, разложение на множители: [ c^3 + d^3 – 3cd(c + d) = (c + d)(c^2 - 4cd + d^2) ]

2. Доказать, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8

Пусть ( n ) и ( n+2 ) — два последовательных нечетных числа. Рассмотрим их квадраты: [ (n+2)^2 - n^2 ]

Раскроем скобки: [ (n^2 + 4n + 4) - n^2 ]

Упрощаем: [ 4n + 4 ]

Вынесем общий множитель 4: [ 4(n + 1) ]

Так как ( n ) — нечетное число, ( n + 1 ) будет четным числом, а любое четное число делится на 2. Следовательно, ( 4(n + 1) ) делится на 8.

3. Докажите, что число ( 14^4 – 165^2 + 138^2 – 107^2 ) кратно 31

Рассмотрим выражение: [ 14^4 – 165^2 + 138^2 – 107^2 ]

Для удобства, сначала найдем остатки чисел при делении на 31: [ 14 \equiv 14 \pmod{31} ] [ 165 \equiv 10 \pmod{31} ] (поскольку ( 165 - 5 \times 31 = 10 )) [ 138 \equiv 14 \pmod{31} ] (поскольку ( 138 - 4 \times 31 = 14 )) [ 107 \equiv 14 \pmod{31} ] (поскольку ( 107 - 3 \times 31 = 14 ))

Теперь подставим эти остатки: [ 14^4 \equiv 14^4 \pmod{31} ] [ 165^2 \equiv 10^2 \equiv 100 \pmod{31} ] [ 138^2 \equiv 14^2 \equiv 196 \pmod{31} ] [ 107^2 \equiv 14^2 \equiv 196 \pmod{31} ]

Теперь вычислим каждое выражение по модулю 31: [ 14^4 = (14^2)^2 = 196^2 \equiv 10^2 = 100 \pmod{31} ] [ 100 \equiv 7 \pmod{31} ] (потому что ( 100 - 3 \times 31 = 7 ))

Теперь подставим все в исходное выражение: [ 14^4 – 165^2 + 138^2 – 107^2 \equiv 7 – 100 + 196 – 196 \pmod{31} ]

Упрощаем: [ 7 – 100 + 196 – 196 \equiv 7 - 100 \equiv 7 - 7 \equiv 0 \pmod{31} ]

Таким образом, выражение делится на 31.

Надеюсь, ответы были полезны и понятны!