Разложите по формуле бинома Ньютона а) (x+1)^5 б) (x-3)^4

Чтобы разложить выражения по формуле бинома Ньютона, используем основную формулу:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k ]

где ( C_n^k ) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

а) Разложим ((x + 1)^5):

Для ( (x + 1)^5 ), ( a = x ), ( b = 1 ), и ( n = 5 ).

[ (x + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot x^{5-k} \cdot 1^k ]

Подставим значения биномиальных коэффициентов:

• ( C_5^0 = 1 )
• ( C_5^1 = 5 )
• ( C_5^2 = 10 )
• ( C_5^3 = 10 )
• ( C_5^4 = 5 )
• ( C_5^5 = 1 )

Теперь распишем сумму:

[ (x + 1)^5 = C_5^0 \cdot x^5 \cdot 1^0 + C_5^1 \cdot x^4 \cdot 1^1 + C_5^2 \cdot x^3 \cdot 1^2 + C_5^3 \cdot x^2 \cdot 1^3 + C_5^4 \cdot x^1 \cdot 1^4 + C_5^5 \cdot x^0 \cdot 1^5 ]

[ = 1 \cdot x^5 + 5 \cdot x^4 + 10 \cdot x^3 + 10 \cdot x^2 + 5 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 ]

[ = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 ]

б) Разложим ((x - 3)^4):

Для ( (x - 3)^4 ), ( a = x ), ( b = -3 ), и ( n = 4 ).

[ (x - 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot x^{4-k} \cdot (-3)^k ]

Подставим значения биномиальных коэффициентов:

• ( C_4^0 = 1 )
• ( C_4^1 = 4 )
• ( C_4^2 = 6 )
• ( C_4^3 = 4 )
• ( C_4^4 = 1 )

Теперь распишем сумму:

[ (x - 3)^4 = C_4^0 \cdot x^4 \cdot (-3)^0 + C_4^1 \cdot x^3 \cdot (-3)^1 + C_4^2 \cdot x^2 \cdot (-3)^2 + C_4^3 \cdot x^1 \cdot (-3)^3 + C_4^4 \cdot x^0 \cdot (-3)^4 ]

[ = 1 \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 \cdot 3 + 6 \cdot x^2 \cdot 9 - 4 \cdot x \cdot 27 + 1 \cdot 81 ]

[ = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81 ]

Таким образом, разложения по формуле бинома Ньютона для данных выражений следующие:

а) ((x + 1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1)

б) ((x - 3)^4 = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81)

а) Для разложения по формуле бинома Ньютона нужно знать, что формула бинома Ньютона выглядит следующим образом: (a+b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + . + C(n,n)a^0b^n, где С(n,k) - биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!).

Для (x+1)^5 можно выразить следующим образом: C(5,0)x^51^0 + C(5,1)x^41^1 + C(5,2)x^31^2 + C(5,3)x^21^3 + C(5,4)x^11^4 + C(5,5)x^01^5.

Раскрывая биномиальные коэффициенты и упрощая выражение, получим: x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.

б) Для (x-3)^4 формула бинома Ньютона будет выглядеть следующим образом: C(4,0)x^4(-3)^0 + C(4,1)x^3(-3)^1 + C(4,2)x^2(-3)^2 + C(4,3)x^1(-3)^3 + C(4,4)x^0(-3)^4.

После упрощения и раскрытия биномиальных коэффициентов получим: x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81.