Ребят помогите доказать $1-cos2a+sin2a$/$1+cos2a+sin2a$=tga

Конечно, давайте разберем это доказательство шаг за шагом. Нам нужно доказать, что:

$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}=\tan a.$

Для начала, вспомним основные тригонометрические тождества:

1. $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$
2. $\sin 2a=2\sin a\cos a$

Теперь подставим эти выражения в нашу исходную дробь:

$\frac{1-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a}{1+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a}.$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $1-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a$

Знаменатель: $1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a$

Теперь заметим, что $1-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a={\sin }^{2}a+{\sin }^{2}a=2{\sin }^{2}a.$ Подставим это в числитель. Аналогично преобразуем знаменатель с учетом $1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a={\cos }^{2}a+{\cos }^{2}a=2{\cos }^{2}a.$

Числитель: $2{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a$

Знаменатель: $2{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a$

Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{{\sin }^{2}a+\sin a\cos a}{{\cos }^{2}a+\sin a\cos a}$

Теперь разделим числитель и знаменатель на ${\cos }^{2}a$:

$\frac{\frac{{\sin }^{2}a}{{\cos }^{2}a}+\frac{\sin a\cos a}{{\cos }^{2}a}}{1+\frac{\sin a\cos a}{{\cos }^{2}a}}$

Упростим дроби в числителе и знаменателе:

$\frac{{\tan }^{2}a+\tan a}{1+\tan a}$

Вынесем $\tan a$ за скобки в числителе:

$\frac{\tan a(\tan a+1)}{1+\tan a}$

Теперь сократим $(\tan a+1$) в числителе и знаменателе:

$\tan a$

Таким образом, мы доказали, что:

$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}=\tan a.$

Готово!

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулами тригонометрии. Разложим числитель и знаменатель на множители: 1 - cos$2a$ + sin$2a$ = $1-co{s}^2(a$ - sin^2$a$) + 2sin$a$cos$a$ = sin^2$a$ + cos^2$a$ + 2sin$a$cos$a$ = $sin(a$ + cos$a$)^2 1 + cos$2a$ + sin$2a$ = $1-co{s}^2(a$ + sin^2$a$) + 2sin$a$cos$a$ = sin^2$a$ + cos^2$a$ + 2sin$a$cos$a$ = $sin(a$ + cos$a$)^2 Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство: $sin(a$ + cos$a$)^2 / $sin(a$ + cos$a$)^2 = tan$a$ Таким образом, доказано исходное тождество.

Для доказательства равенства $1-cos(2a$+sin$2a$)/$1+cos(2a$+sin$2a$) = tg$a$ можно воспользоваться формулами тригонометрии и доказать их преобразованиями.