Ребят помогите доказать (1-cos2a+sin2a)/(1+cos2a+sin2a)=tga

Конечно, давайте разберем это доказательство шаг за шагом. Нам нужно доказать, что:

[\frac{1 - \cos 2a + \sin 2a}{1 + \cos 2a + \sin 2a} = \tan a.]

Для начала, вспомним основные тригонометрические тождества:

1. (\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a)
2. (\sin 2a = 2 \sin a \cos a)

Теперь подставим эти выражения в нашу исходную дробь:

[\frac{1 - (\cos^2 a - \sin^2 a) + 2 \sin a \cos a}{1 + (\cos^2 a - \sin^2 a) + 2 \sin a \cos a}.]

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: [1 - \cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cos a]

Знаменатель: [1 + \cos^2 a - \sin^2 a + 2 \sin a \cos a]

Теперь заметим, что (1 - \cos^2 a + \sin^2 a = \sin^2 a + \sin^2 a = 2 \sin^2 a.) Подставим это в числитель. Аналогично преобразуем знаменатель с учетом (1 + \cos^2 a - \sin^2 a = \cos^2 a + \cos^2 a = 2 \cos^2 a.)

Числитель: [2 \sin^2 a + 2 \sin a \cos a]

Знаменатель: [2 \cos^2 a + 2 \sin a \cos a]

Разделим числитель и знаменатель на 2:

[\frac{\sin^2 a + \sin a \cos a}{\cos^2 a + \sin a \cos a}]

Теперь разделим числитель и знаменатель на (\cos^2 a):

[\frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\sin a \cos a}{\cos^2 a}}{1 + \frac{\sin a \cos a}{\cos^2 a}}]

Упростим дроби в числителе и знаменателе:

[\frac{\tan^2 a + \tan a}{1 + \tan a}]

Вынесем (\tan a) за скобки в числителе:

[\frac{\tan a (\tan a + 1)}{1 + \tan a}]

Теперь сократим ((\tan a + 1)) в числителе и знаменателе:

[\tan a]

Таким образом, мы доказали, что:

[\frac{1 - \cos 2a + \sin 2a}{1 + \cos 2a + \sin 2a} = \tan a.]

Готово!

Для доказательства данного тождества, воспользуемся формулами тригонометрии. Разложим числитель и знаменатель на множители: 1 - cos(2a) + sin(2a) = (1 - cos^2(a) - sin^2(a)) + 2sin(a)cos(a) = sin^2(a) + cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = (sin(a) + cos(a))^2 1 + cos(2a) + sin(2a) = (1 - cos^2(a) + sin^2(a)) + 2sin(a)cos(a) = sin^2(a) + cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = (sin(a) + cos(a))^2 Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство: (sin(a) + cos(a))^2 / (sin(a) + cos(a))^2 = tan(a) Таким образом, доказано исходное тождество.

Для доказательства равенства (1-cos(2a)+sin(2a))/(1+cos(2a)+sin(2a)) = tg(a) можно воспользоваться формулами тригонометрии и доказать их преобразованиями.