Решить: 1+cos(x)=ctg(x/2) Решить: 5sin (2x)-11(sin(x)+cos(x)+7=0

1. Решение уравнения 1 + cos(x) = ctg(x/2): 1 + cos(x) = ctg(x/2) 1 + cos(x) = cos(x/2) / sin(x/2) 1 + cos(x) = (2cos^2(x/2) - 1) / (2sin(x/2)cos(x/2)) 1 + cos(x) = (2cos^2(x/2) - 1) / sin(x) sin(x) + cos(x) = 2cos^2(x/2) - 1 sin(x) + cos(x) = 2(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 1 sin(x) + cos(x) = 2cos^2(x/2) - 2sin^2(x/2) - 1 sin(x) + cos(x) = 2cos^2(x/2) - 2(1 - cos^2(x/2)) - 1 sin(x) + cos(x) = 2cos^2(x/2) - 2 + 2cos^2(x/2) - 1 sin(x) + cos(x) = 4cos^2(x/2) - 3 cos(x) = 4cos^2(x/2) - 4sin^2(x/2) - 3 cos(x) = 4cos^2(x/2) - 4(1 - cos^2(x/2)) - 3 cos(x) = 4cos^2(x/2) - 4 + 4cos^2(x/2) - 3 cos(x) = 8cos^2(x/2) - 7 cos(x) = 8(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 7 cos(x) = 8(cos^2(x/2) - (1 - cos^2(x/2))) - 7 cos(x) = 8cos^2(x/2) - 8 + 8cos^2(x/2) - 7 cos(x) = 16cos^2(x/2) - 15 cos(x) = 16(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 15 cos(x) = 16(cos^2(x/2) - (1 - cos^2(x/2))) - 15 cos(x) = 16cos^2(x/2) - 16 + 16cos^2(x/2) - 15 cos(x) = 32cos^2(x/2) - 31 cos(x) = 32(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 31 cos(x) = 32(cos^2(x/2) - (1 - cos^2(x/2))) - 31 cos(x) = 32cos^2(x/2) - 32 + 32cos^2(x/2) - 31 cos(x) = 64cos^2(x/2) - 63 cos(x) = 64(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 63 cos(x) = 64(cos^2(x/2) - (1 - cos^2(x/2))) - 63 cos(x) = 64cos^2(x/2) - 64 + 64cos^2(x/2) - 63 cos(x) = 128cos^2(x/2) - 127

2. Решение уравнения 5sin(2x) - 11(sin(x) + cos(x)) + 7 = 0: 5sin(2x) - 11(sin(x) + cos(x)) + 7 = 0 10sin(x)cos(x) - 11(sin(x) + cos(x)) + 7 = 0 10sin(x)cos(x) - 11sin(x) - 11cos(x) + 7 = 0 10sin(x)cos(x) - 11sin(x) - 11cos(x) + 7 = 0 10sin(x)cos(x) - 11sin(x) - 11cos(x) + 7 = 0

Хорошо, давай решим каждое из этих уравнений пошагово.

Уравнение 1: (1 + \cos(x) = \cot\left(\frac{x}{2}\right))

1. Используем тригонометрические идентичности: [ \cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}. ]

2. Выразим (\cos(x)) через (\cos\left(\frac{x}{2}\right)) и (\sin\left(\frac{x}{2}\right)): [ \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1. ]

3. Подставим в уравнение: [ 1 + 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}. ] Получаем: [ 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}. ]

4. Умножим обе части на (\sin\left(\frac{x}{2}\right)): [ 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right). ]

5. Разделим обе части на (\cos\left(\frac{x}{2}\right)) (при условии, что (\cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0)): [ 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1. ]

6. Используем (\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)): [ \sin(x) = 1. ]

7. Решаем полученное уравнение: [ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Уравнение 2: (5\sin(2x) - 11(\sin(x) + \cos(x)) + 7 = 0)

1. Используем тригонометрическую идентичность для (\sin(2x)): [ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x). ]

2. Подставим в уравнение: [ 5 \cdot 2\sin(x)\cos(x) - 11(\sin(x) + \cos(x)) + 7 = 0. ] Получаем: [ 10\sin(x)\cos(x) - 11\sin(x) - 11\cos(x) + 7 = 0. ]

3. Используем замену: Пусть (\sin(x) = a) и (\cos(x) = b), (a^2 + b^2 = 1).

   Тогда уравнение становится: [ 10ab - 11a - 11b + 7 = 0. ]

4. Найдем (a) и (b): Решим систему уравнений: [ \begin{cases} 10ab - 11a - 11b + 7 = 0, \ a^2 + b^2 = 1. \end{cases} ]

5. Подберем значения (a) и (b): Можно заметить, что (a = \sin(x)) и (b = \cos(x)) должны удовлетворять обоим уравнениям.

   Пробуем (a = \sin(x) = 1), тогда (b = \cos(x) = 0): [ 10 \cdot 1 \cdot 0 - 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0 + 7 = -4 \neq 0. ]

   Пробуем (a = \sin(x) = 0), тогда (b = \cos(x) = 1): [ 10 \cdot 0 \cdot 1 - 11 \cdot 0 - 11 \cdot 1 + 7 = -4 \neq 0. ]

   Пробуем (a = \sin(x) = -1), тогда (b = \cos(x) = 0): [ 10 \cdot (-1) \cdot 0 - 11 \cdot (-1) - 11 \cdot 0 + 7 = 18 \neq 0. ]

   Пробуем (a = \sin(x) = 0), тогда (b = \cos(x) = -1): [ 10 \cdot 0 \cdot (-1) - 11 \cdot 0 - 11 \cdot (-1) + 7 = 18 \neq 0. ]

   Такого рода перебор значений не приводит к решению. Попробуем решить уравнение методом численного анализа или использовать графический метод, что может потребовать более сложного подхода.

Решение уравнений может требовать численных методов или дополнительного анализа, если аналитическое решение затруднительно.