Решить неравенство (4^x-2^(x+3)+7)/(4^x-5⋅2^x+4)≤(2^x-9)/(2^x-4)+1/(2^x+6)

Для начала упростим данное неравенство. Приведем обе части неравенства к общему знаменателю:

(4^x - 2^(x+3) + 7) / (4^x - 5*2^x + 4) ≤ (2^x - 9) / (2^x - 4) + 1 / (2^x + 6)

(4^x - 2^(x+3) + 7) / (4^x - 52^x + 4) ≤ [(2^x - 9)(2^x + 6) + 4^x - 52^x + 4] / [(2^x - 4)(2^x + 6)]

Теперь умножим обе части неравенства на (4^x - 5*2^x + 4)(2^x + 6) и приведем подобные слагаемые:

(4^x - 2^(x+3) + 7)(2^x + 6) ≤ [(2^x - 9)(2^x + 6) + 4^x - 5*2^x + 4](4^x - 5*2^x + 4)

(4^x - 2^(x+3))2^x + 7(2^x + 6) ≤ [(2^x)^2 - 92^x + 62^x - 54 + 4^x - 5*2^x + 4](4^x - 5*2^x + 4)

Упростим и решим данное неравенство.

Для решения данного неравенства необходимо преобразовать его и найти область допустимых значений переменной x.

Рассмотрим данное неравенство:

[ \frac{4^x - 2^{x+3} + 7}{4^x - 5 \cdot 2^x + 4} \leq \frac{2^x - 9}{2^x - 4} + \frac{1}{2^x + 6} ]

Для начала упростим выражения. Напомним, что (4^x = (2^2)^x = (2^x)^2). То есть можем выразить (4^x) через (2^x). Обозначим (y = 2^x). Тогда наше неравенство примет вид:

[ \frac{y^2 - 8y + 7}{y^2 - 5y + 4} \leq \frac{y - 9}{y - 4} + \frac{1}{y + 6} ]

Теперь упростим правую часть неравенства. Приведем к общему знаменателю:

[ \frac{y - 9}{y - 4} + \frac{1}{y + 6} = \frac{(y - 9)(y + 6) + 1(y - 4)}{(y - 4)(y + 6)} ]

Выполним умножение и сложение в числителе:

[ (y - 9)(y + 6) = y^2 + 6y - 9y - 54 = y^2 - 3y - 54 ]

[ 1(y - 4) = y - 4 ]

Сложим:

[ y^2 - 3y - 54 + y - 4 = y^2 - 2y - 58 ]

Таким образом, правая часть неравенства становится:

[ \frac{y^2 - 2y - 58}{(y - 4)(y + 6)} ]

Теперь наше неравенство выглядит так:

[ \frac{y^2 - 8y + 7}{y^2 - 5y + 4} \leq \frac{y^2 - 2y - 58}{(y - 4)(y + 6)} ]

Приведем левую часть к тому же знаменателю:

[ \frac{y^2 - 8y + 7}{y^2 - 5y + 4} = \frac{y^2 - 8y + 7}{(y - 1)(y - 4)} ]

Теперь обе части неравенства имеют одинаковые знаменатели, можем их приравнять, если знаменатели не равны нулю:

[ (y - 1)(y - 4) \leq 0 \quad \text{и} \quad (y - 4)(y + 6) \leq 0 ]

Рассмотрим знак числителя и знаменателя по отдельности.

Решение для числителя:

[ y^2 - 8y + 7 \leq y^2 - 2y - 58 ]

Приведем к стандартному виду:

[ -8y + 7 \leq -2y - 58 ]

Переносим все члены в одну сторону:

[ -8y + 2y \leq -58 - 7 ]

[ -6y \leq -65 ]

Разделим на -6 (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

[ y \geq \frac{65}{6} ]

Решение для знаменателя:

[ (y - 1)(y - 4) > 0 \quad \text{и} \quad (y - 4)(y + 6) > 0 ]

Для корней знаменателя решаем отдельно: [ y \ne 1, \quad y \ne 4, \quad y \ne -6 ]

Объединение решений:

[ y \geq \frac{65}{6} \quad \text{и} \quad y \ne 1, \quad y \ne 4, \quad y \ne -6 ]

Теперь вернемся к переменной (x): [ 2^x \geq \frac{65}{6} ]

Примем логарифм по основанию 2: [ x \geq \log_2 \left(\frac{65}{6}\right) ]

Итак, решение неравенства:

[ x \geq \log_2 \left(\frac{65}{6}\right) ]

И (x) не должен принимать такие значения, при которых знаменатель обращается в ноль.