Решить неравенство корень из х+8 меньше х+2

Для решения данного неравенства нужно выполнить следующие шаги:

1. Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: (√(x+8))^2 < (x+2)^2

2. Упростим выражения: x + 8 < x^2 + 4x + 4

3. Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные: 0 < x^2 + 4x + 4 - x - 8 0 < x^2 + 3x - 4

4. Перенесем все члены в правую часть неравенства и приведем квадратное уравнение к стандартному виду: x^2 + 3x - 4 > 0

5. Решим квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта: D = 3^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25 Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня.

6. Найдем корни уравнения: x1,2 = (-3 ± √25) / 2 x1 = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1 x2 = (-3 - 5) / 2 = -8 / 2 = -4

7. Построим знаки выражения x^2 + 3x - 4 на числовой прямой, используя найденные корни. Для этого вычислим значение выражения в точках между корнями и за пределами корней, чтобы определить знак выражения в каждом из интервалов.

8. Итак, неравенство x^2 + 3x - 4 > 0 выполняется при x < -4 и x > 1.

Таким образом, решением исходного неравенства (√(x+8)) < (x+2) является множество всех значений x, удовлетворяющих условию x < -4 и x > 1.

x > 6

Рассмотрим неравенство:

[ \sqrt{x + 8} < x + 2 ]

Чтобы решить его, нужно сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной (x). Так как подкоренное выражение (x + 8) должно быть неотрицательным, получаем:

[ x + 8 \geq 0 \implies x \geq -8 ]

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Для этого сделаем замену: перенесем все выражения влево и получим:

[ \sqrt{x + 8} - (x + 2) < 0 ]

Рассмотрим функции (f(x) = \sqrt{x + 8}) и (g(x) = x + 2) и найдём их точки пересечения, приравняв их друг к другу:

[ \sqrt{x + 8} = x + 2 ]

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ x + 8 = (x + 2)^2 ]

Раскроем скобки на правой стороне:

[ x + 8 = x^2 + 4x + 4 ]

Перенесем все в одну сторону:

[ x^2 + 4x + 4 - x - 8 = 0 ]

Упростим:

[ x^2 + 3x - 4 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ]

Найдем корни:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2} ]

Получаем:

[ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 ]

Точки пересечения (x = 1) и (x = -4). Разобьем числовую прямую на интервалы: ((-8, -4)), ((-4, 1)), и ((1, +\infty)).

Проверим знаки на каждом интервале, подставляя тестовые точки в выражение (\sqrt{x + 8} - (x + 2)):

1. Для интервала ((-8, -4)), выберем тестовую точку (x = -6): [ \sqrt{-6 + 8} - (-6 + 2) = \sqrt{2} + 4 > 0 ]

2. Для интервала ((-4, 1)), выберем тестовую точку (x = 0): [ \sqrt{0 + 8} - (0 + 2) = \sqrt{8} - 2 > 0 ]

3. Для интервала ((1, +\infty)), выберем тестовую точку (x = 2): [ \sqrt{2 + 8} - (2 + 2) = \sqrt{10} - 4 < 0 ]

С учетом анализа знаков, решением неравенства является интервал, где выражение меньше нуля, то есть ((1, +\infty)).

Ответ: (x \in (1, +\infty)).