Решить неравенство: (x-1)(3x-5)<1

Для решения данного неравенства необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскроем скобки: (x-1)(3x-5) < 1 3x^2 - 5x - 3x + 5 < 1 3x^2 - 8x + 5 < 1

2. Приведем неравенство к стандартному виду: 3x^2 - 8x + 5 - 1 < 0 3x^2 - 8x + 4 < 0

3. Решим квадратное уравнение: Для этого найдем дискриминант: D = (-8)^2 - 434 = 64 - 48 = 16

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня: x1 = (8 + √16) / 6 = 4/3 x2 = (8 - √16) / 6 = 2

1. Построим знаки функции на промежутках (-∞, 2), (2, 4/3) и (4/3, +∞): Выберем произвольное значение x, например x = 0: 30^2 - 80 + 4 = 4 > 0 Таким образом, на интервале (-∞, 2) неравенство не выполняется.

Выберем x = 3: 33^2 - 83 + 4 = 7 > 0 На интервале (2, 4/3) неравенство также не выполняется.

Выберем x = 2: 32^2 - 82 + 4 = -4 < 0 Таким образом, на интервале (2, 4/3) неравенство выполняется.

Выберем x = 1: 31^2 - 81 + 4 = -1 < 0 На интервале (4/3, +∞) неравенство также выполняется.

Итак, решением неравенства (x-1)(3x-5) < 1 является интервал (2, 4/3).

Чтобы решить неравенство ((x-1)(3x-5) < 1), необходимо выполнить несколько шагов, включая преобразование неравенства, анализ критических точек и исследование промежутков.

1. Преобразование неравенства: Сначала приведем неравенство к стандартной форме: [(x-1)(3x-5) - 1 < 0.]

2. Раскрытие скобок и упрощение: Раскроем скобки и упростим выражение: [(x-1)(3x-5) - 1 = 3x^2 - 5x - 3x + 5 - 1 = 3x^2 - 8x + 4.] Таким образом, наше неравенство принимает вид: [3x^2 - 8x + 4 < 0.]

3. Нахождение корней квадратного уравнения: Решим квадратное уравнение (3x^2 - 8x + 4 = 0) для нахождения критических точек. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: [x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},] где (a = 3), (b = -8), (c = 4).

   Подставим значения: [x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}.]

   Получаем два корня: [x_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.]

4. Анализ промежутков: Корни (x = 2) и (x = \frac{2}{3}) разбивают числовую ось на три промежутка: ((-\infty, \frac{2}{3})), ((\frac{2}{3}, 2)) и ((2, \infty)).

5. Исследование знака на промежутках: Проверим знак выражения (3x^2 - 8x + 4) на каждом из этих промежутков. Для этого подставим точки, лежащие внутри каждого промежутка, в выражение (3x^2 - 8x + 4).

   • Для промежутка ((-\infty, \frac{2}{3})), возьмем точку (x = 0): [3(0)^2 - 8(0) + 4 = 4 > 0.]

   • Для промежутка ((\frac{2}{3}, 2)), возьмем точку (x = 1): [3(1)^2 - 8(1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1 < 0.]

   • Для промежутка ((2, \infty)), возьмем точку (x = 3): [3(3)^2 - 8(3) + 4 = 27 - 24 + 4 = 7 > 0.]

6. Запись решения: Выражение (3x^2 - 8x + 4 < 0) выполняется на промежутке ((\frac{2}{3}, 2)).

Ответ: [ \boxed{\frac{2}{3} < x < 2}. ]