Решить систему уравнений 2x^2-y^2=32 2x-y=8

x = 4, y = 0

Чтобы решить систему уравнений:

1. (2x^2 - y^2 = 32)
2. (2x - y = 8)

мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае удобнее использовать метод подстановки.

Начнем с второго уравнения:

[ 2x - y = 8 ]

Из этого уравнения выразим (y):

[ y = 2x - 8 ]

Теперь подставим выражение для (y) во второе уравнение:

[ 2x^2 - (2x - 8)^2 = 32 ]

Раскроем скобки:

[ 2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32 ]

Упростим выражение:

[ 2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32 ]

Объединим подобные члены:

[ -2x^2 + 32x - 64 = 32 ]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

[ -2x^2 + 32x - 64 - 32 = 0 ]

Упростим:

[ -2x^2 + 32x - 96 = 0 ]

Разделим все уравнение на -2 для упрощения:

[ x^2 - 16x + 48 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта ((D)):

[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64 ]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} ]

[ \sqrt{64} = 8 ]

Таким образом, корни будут:

[ x_1 = \frac{16 + 8}{2} = 12 ] [ x_2 = \frac{16 - 8}{2} = 4 ]

Теперь найдём соответствующие значения (y) для каждого найденного значения (x), используя уравнение (y = 2x - 8):

1. Для (x = 12):

[ y = 2 \cdot 12 - 8 = 24 - 8 = 16 ]

1. Для (x = 4):

[ y = 2 \cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0 ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (12, 16) )
2. ( (x, y) = (4, 0) )

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения выразим y через x: y = 2x - 8 Подставим это значение y в первое уравнение: 2x^2 - (2x - 8)^2 = 32 Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32 Упростим уравнение: 2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32 -2x^2 + 32x - 64 = 32 -2x^2 + 32x - 96 = 0 Решим полученное квадратное уравнение и найдем значения x. После этого найдем соответствующие значения y, используя уравнение y = 2x - 8.

2. Метод сложения/вычитания: Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым: 4x - 2y = 16 2x^2 - y^2 + 4x - 2y = 32 Приведем подобные слагаемые: 2x^2 + 4x - y^2 - 2y = 32 Разложим левую часть на множители: (2x - y)(x + y) = 32 Теперь можем выразить одну переменную через другую и найти значения x и y.

После нахождения значений переменных x и y, необходимо проверить полученное решение подстановкой в исходные уравнения, чтобы убедиться в его корректности.