Решить систему уравнений: 9/x+y + 2/x-y=3; 18/x+y - 5/x-y=3.

Для решения данной системы уравнений преобразуем их к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. Умножим первое уравнение на $x-y$, а второе на $-x+y$:

$9(x-y$ + 2$x+y$ = 3$x-y$$x+y$), $18(x-y$ - 5$x+y$ = 3$-x+y$$x+y$).

Раскроем скобки и преобразуем уравнения:

$9x-9y+2x+2y=3(x^2-y^2$), $18x-18y-5x-5y=3(-x^2+y^2$).

Сгруппируем переменные и упростим уравнения:

$11x-7y=3x^2-3y^2$, $13x-23y=-3x^2+3y^2$.

Теперь объединим два уравнения в одно:

$11x-7y=3x^2-3y^2$, $13x-23y=-3x^2+3y^2$.

Решив данное уравнение, мы найдем значения переменных $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе.

Для решения системы уравнений:

$\{\begin{array}{l}\frac{9}{x+y}+\frac{2}{x-y}=3\frac{18}{x+y}-\frac{5}{x-y}=3\end{array}$

введем новые переменные для упрощения. Пусть:

$a=\frac{1}{x+y}\text{и}b=\frac{1}{x-y}$

Тогда система уравнений перепишется в виде:

$\{\begin{array}{l}9a+2b=318a-5b=3\end{array}$

Теперь решим данную систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$.

1. Умножим первое уравнение на 5:

$45a+10b=15$

1. Умножим второе уравнение на 2:

$36a-10b=6$

Теперь сложим эти два уравнения:

$(45a+10b)+(36a-10b)=15+6$

Получим:

$81a=21$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a=\frac{21}{81}=\frac{7}{27}$

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение системы:

$9a+2b=3$

Получим:

$9\cdot \frac{7}{27}+2b=3$

Упростим:

$\frac{63}{27}+2b=3$

$\frac{63}{27}=\frac{7}{3}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{7}{3}+2b=3$

Вычтем $\frac{7}{3}$ из обеих частей уравнения:

$2b=3-\frac{7}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$3=\frac{9}{3}$

$2b=\frac{9}{3}-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$b=\frac{1}{3}$

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы знаем, что:

$a=\frac{1}{x+y}=\frac{7}{27}$

и

$b=\frac{1}{x-y}=\frac{1}{3}$

Таким образом, у нас есть две системы уравнений:

$\frac{1}{x+y}=\frac{7}{27}$

и

$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{3}$

Перепишем их в виде:

$x+y=\frac{27}{7}$

и

$x-y=3$

Теперь сложим и вычтем эти уравнения, чтобы найти $x$ и $y$:

Сложим:

$(x+y)+(x-y)=\frac{27}{7}+3$

$2x=\frac{27}{7}+\frac{21}{7}=\frac{48}{7}$

$x=\frac{24}{7}$

Теперь вычтем:

$(x+y)-(x-y)=\frac{27}{7}-3$

$2y=\frac{27}{7}-\frac{21}{7}=\frac{6}{7}$

$y=\frac{3}{7}$

Таким образом, решение системы уравнений:

$x=\frac{24}{7},y=\frac{3}{7}$

Это и есть ответ на задачу.

x = 2, y = 1.