Решить систему уравнений: 9/x+y + 2/x-y=3; 18/x+y - 5/x-y=3.

Для решения данной системы уравнений преобразуем их к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. Умножим первое уравнение на (x-y), а второе на (-x+y):

(9(x-y) + 2(x+y) = 3(x-y)(x+y)), (18(x-y) - 5(x+y) = 3(-x+y)(x+y)).

Раскроем скобки и преобразуем уравнения:

(9x - 9y + 2x + 2y = 3(x^2 - y^2)), (18x - 18y - 5x - 5y = 3(-x^2 + y^2)).

Сгруппируем переменные и упростим уравнения:

(11x - 7y = 3x^2 - 3y^2), (13x - 23y = -3x^2 + 3y^2).

Теперь объединим два уравнения в одно:

(11x - 7y = 3x^2 - 3y^2), (13x - 23y = -3x^2 + 3y^2).

Решив данное уравнение, мы найдем значения переменных (x) и (y), которые удовлетворяют системе.

Для решения системы уравнений:

[ \begin{cases} \frac{9}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 3 \ \frac{18}{x+y} - \frac{5}{x-y} = 3 \end{cases} ]

введем новые переменные для упрощения. Пусть:

[ a = \frac{1}{x+y} \quad \text{и} \quad b = \frac{1}{x-y} ]

Тогда система уравнений перепишется в виде:

[ \begin{cases} 9a + 2b = 3 \ 18a - 5b = 3 \end{cases} ]

Теперь решим данную систему линейных уравнений относительно (a) и (b).

1. Умножим первое уравнение на 5:

[ 45a + 10b = 15 ]

1. Умножим второе уравнение на 2:

[ 36a - 10b = 6 ]

Теперь сложим эти два уравнения:

[ (45a + 10b) + (36a - 10b) = 15 + 6 ]

Получим:

[ 81a = 21 ]

Решим это уравнение относительно (a):

[ a = \frac{21}{81} = \frac{7}{27} ]

Теперь подставим найденное значение (a) в первое уравнение системы:

[ 9a + 2b = 3 ]

Получим:

[ 9 \cdot \frac{7}{27} + 2b = 3 ]

Упростим:

[ \frac{63}{27} + 2b = 3 ]

[ \frac{63}{27} = \frac{7}{3} ]

Таким образом, уравнение принимает вид:

[ \frac{7}{3} + 2b = 3 ]

Вычтем (\frac{7}{3}) из обеих частей уравнения:

[ 2b = 3 - \frac{7}{3} ]

Приведем к общему знаменателю:

[ 3 = \frac{9}{3} ]

[ 2b = \frac{9}{3} - \frac{7}{3} = \frac{2}{3} ]

Разделим обе части уравнения на 2:

[ b = \frac{1}{3} ]

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы знаем, что:

[ a = \frac{1}{x+y} = \frac{7}{27} ]

и

[ b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{3} ]

Таким образом, у нас есть две системы уравнений:

[ \frac{1}{x+y} = \frac{7}{27} ]

и

[ \frac{1}{x-y} = \frac{1}{3} ]

Перепишем их в виде:

[ x + y = \frac{27}{7} ]

и

[ x - y = 3 ]

Теперь сложим и вычтем эти уравнения, чтобы найти (x) и (y):

Сложим:

[ (x + y) + (x - y) = \frac{27}{7} + 3 ]

[ 2x = \frac{27}{7} + \frac{21}{7} = \frac{48}{7} ]

[ x = \frac{24}{7} ]

Теперь вычтем:

[ (x + y) - (x - y) = \frac{27}{7} - 3 ]

[ 2y = \frac{27}{7} - \frac{21}{7} = \frac{6}{7} ]

[ y = \frac{3}{7} ]

Таким образом, решение системы уравнений:

[ x = \frac{24}{7}, \quad y = \frac{3}{7} ]

Это и есть ответ на задачу.

x = 2, y = 1.