Решить систему X^2+y^2=37 Xy=6

Для решения системы уравнений:

1. $x^2+y^2=37$
2. $xy=6$

начнем с того, что второе уравнение можно использовать для выражения одной переменной через другую.

Шаг 1: Выразим $y$ через $x$

Из второго уравнения: $y=\frac{6}{x}$

Шаг 2: Подставим $y$ в первое уравнение

Теперь подставим это выражение во первое уравнение: $x^2+{\left(\frac{6}{x}\right)}^2=37$ Упростим: $x^2+\frac{36}{x^2}=37$

Шаг 3: Умножим на $x^2$ для избавления от дроби

Умножим обе стороны на $x^2$: $x^4+36=37x^2$

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону: $x^4-37x^2+36=0$

Шаг 5: Замена переменной

Для удобства, сделаем замену $z=x^2$. Тогда уравнение примет вид: $z^2-37z+36=0$

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D=b^2-4ac=(-37{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=1369-144=1225$ Теперь найдем корни: $z_{1,2}=\frac{37\pm \sqrt{1225}}{2}=\frac{37\pm 35}{2}$

Таким образом, получаем: $z_1=\frac{72}{2}=36,z_2=\frac{2}{2}=1$

Шаг 7: Находим $x^2$

Теперь возвращаемся к переменной $x$:

1. Если $z_1=36$, то $x^2=36$ ⇒ $x=6$ или $x=-6$.
2. Если $z_2=1$, то $x^2=1$ ⇒ $x=1$ или $x=-1$.

Шаг 8: Находим соответствующие значения $y$

Теперь найдем значения $y$ для каждого найденного $x$:

1. Если $x=6$: $y=\frac{6}{6}=1$ Пара $6,1$.

2. Если $x=-6$: $y=\frac{6}{-6}=-1$ Пара $-6,-1$.

3. Если $x=1$: $y=\frac{6}{1}=6$ Пара $1,6$.

4. Если $x=-1$: $y=\frac{6}{-1}=-6$ Пара $-1,-6$.

Шаг 9: Итоговые решения

Таким образом, решения системы уравнений:

1. $(6,1$ )
2. $(-6,-1$ )
3. $(1,6$ )
4. $(-1,-6$ )

Эти пары $(x,y$ ) удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Для решения данной системы уравнений:

$x^2+y^2=37$ $xy=6$

рассмотрим порядок действий подробно.

Шаг 1: Воспользуемся свойствами квадратного уравнения

Из алгебры известно, что если $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения, то сумма корней равна коэффициенту при $x$ с отрицательным знаком, а произведение корней равно свободному члену при известном коэффициенте. То есть мы можем записать:

$x+y=S\text{(сумма корней)}$ $xy=P\text{(произведение корней)}.$

В нашей системе уже известно, что:

$P=xy=6.$

Шаг 2: Выразим сумму корней

Для выражения суммы $S=x+y$, используем первое уравнение $x^2+y^2=37$. Известна формула связи:

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy.$

Подставим в неё $x^2+y^2=37$ и $xy=6$:

$37=(x+y{)}^2-2\cdot 6.$

Упростим:

$37=(x+y{)}^2-12,$

$(x+y{)}^2=49.$

Отсюда:

$x+y=\pm 7.$

Теперь у нас две ситуации:

1. $x+y=7$,
2. $x+y=-7$.

Шаг 3: Решим для каждого случая

Случай 1: $x+y=7$, $xy=6$

Составим квадратное уравнение, корнями которого являются $x$ и $y$:

$t^2-(x+y)t+xy=0.$

Подставим $x+y=7$ и $xy=6$:

$t^2-7t+6=0.$

Решим это уравнение через разложение на множители:

$t^2-7t+6=(t-6)(t-1)=0.$

Отсюда:

$t=6\text{или}t=1.$

Значит, $x=6$, $y=1$ $илинаоборот:(x=1$, $y=6$).

Случай 2: $x+y=-7$, $xy=6$

Составим квадратное уравнение:

$t^2-(x+y)t+xy=0.$

Подставим $x+y=-7$ и $xy=6$:

$t^2+7t+6=0.$

Решим это уравнение через разложение на множители:

$t^2+7t+6=(t+6)(t+1)=0.$

Отсюда:

$t=-6\text{или}t=-1.$

Значит, $x=-6$, $y=-1$ $илинаоборот:(x=-1$, $y=-6$).

Шаг 4: Запишем итоговые решения

Итак, система имеет четыре пары решений:

$(x,y)=(6,1),(1,6),(-6,-1),(-1,-6).$