Решить уравнение 16^x-1 -3*4^x +11=0

x=2

Для решения уравнения (16^{x-1} - 3 \cdot 4^x + 11 = 0) начнем с упрощения выражений с помощью свойств степеней.

Первоначально заметим, что (16^{x-1}) можно переписать как (\frac{16^x}{16}). Зная, что (16 = 4^2), можем выразить (16^x) как ((4^2)^x = 4^{2x}). Таким образом, уравнение становится:

[ \frac{4^{2x}}{16} - 3 \cdot 4^x + 11 = 0 ]

Умножим всё уравнение на 16, чтобы избавиться от дроби:

[ 4^{2x} - 48 \cdot 4^x + 176 = 0 ]

Теперь введем замену: пусть (y = 4^x). Тогда (4^{2x} = (4^x)^2 = y^2). Получаем квадратное уравнение:

[ y^2 - 48y + 176 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) для уравнения (ay^2 + by + c = 0) вычисляется как (D = b^2 - 4ac). Здесь (a = 1), (b = -48), (c = 176).

[ D = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 176 = 2304 - 704 = 1600 ]

Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{1600}}{2} ]

Заметим, что (\sqrt{1600} = 40), тогда:

[ y_1 = \frac{48 + 40}{2} = \frac{88}{2} = 44 ] [ y_2 = \frac{48 - 40}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

Теперь вернемся к замене (y = 4^x):

1. Для (y_1 = 44): (4^x = 44). Это уравнение не имеет целых решений, так как 44 не является степенью числа 4.

2. Для (y_2 = 4): (4^x = 4). Это уравнение даёт (x = 1), поскольку (4^1 = 4).

Таким образом, уравнение (16^{x-1} - 3 \cdot 4^x + 11 = 0) имеет единственное решение (x = 1).

Для решения уравнения 16^x-1 -3*4^x +11=0 проведем замену переменной. Обозначим 4^x за t. Тогда уравнение примет вид:

16t - 3t + 11 = 0, 13t + 11 = 0, 13t = -11, t = -11/13.

Теперь вернемся к исходной переменной:

4^x = -11/13.

Применим логарифм к обеим сторонам уравнения:

x * log(4) = log(-11/13), x = log(-11/13) / log(4).

Так как логарифм от отрицательного числа не существует, данное уравнение не имеет решения.