Решить уравнение: sinx - корень из 2/2 = 0

Давайте подробно разберём решение уравнения:

Уравнение:

[ \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 ]

Шаг 1. Перенос слагаемого:

Перенесём (\frac{\sqrt{2}}{2}) вправо: [ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Шаг 2. Найдём значения, при которых (\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}):

Из основных тригонометрических значений мы знаем, что: [ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ] в точках: [ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{(первый квадрант, где синус положителен)}, ] и [ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{(второй квадрант, где синус положителен)}. ] Здесь (n \in \mathbb{Z}) — любое целое число, так как синус — периодическая функция с периодом (2\pi).

Шаг 3. Общий ответ:

Таким образом, общий ответ: [ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Шаг 4. Проверка:

Подставим оба найденных значения в исходное уравнение для проверки.

1. Для (x = \frac{\pi}{4}): [ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Уравнение выполняется.

2. Для (x = \frac{3\pi}{4}): [ \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Уравнение также выполняется.

Итоговый ответ:

Общий вид решения уравнения: [ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Для решения уравнения ( \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 ), начнем с преобразования его в более удобный вид:

[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь мы должны найти значения ( x ), для которых синус равен ( \frac{\sqrt{2}}{2} ). Известно, что:

[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

в первую очередь, для углов, находящихся в первом и втором квадрантах. Эти углы равны:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

и

[ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

где ( k ) — любое целое число, так как синус имеет период ( 2\pi ).

Таким образом, обобщенное решение уравнения:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Теперь, если нужно найти конкретные значения в пределах одного полного периода (например, от ( 0 ) до ( 2\pi )), то:

• Для ( k = 0 ):
  • ( x_1 = \frac{\pi}{4} )
  • ( x_2 = \frac{3\pi}{4} )

Таким образом, в пределах одного периода уравнение ( \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 ) имеет два решения:

[ x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4} ]

Итак, общее решение уравнения:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Чтобы решить уравнение ( \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 ), приводим его к виду:

[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Значение ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ) достигается при:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение:

[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]