Решить уравнение x+5/x-5 + x/x+5=50/x^2-25

Решим уравнение ( \frac{x+5}{x-5} + \frac{x}{x+5} = \frac{50}{x^2 - 25} ).

1. Начнем с упрощения правой части уравнения. Заметим, что ( x^2 - 25 ) можно разложить на множители: [ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) ] Таким образом, уравнение принимает вид: [ \frac{x+5}{x-5} + \frac{x}{x+5} = \frac{50}{(x-5)(x+5)} ]

2. Найдем общий знаменатель для левой части уравнения: [ \frac{x+5}{x-5} + \frac{x}{x+5} ] Общий знаменатель будет ( (x-5)(x+5) ). Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{(x+5)^2 + x(x-5)}{(x-5)(x+5)} ]

3. Раскроем скобки в числителе: [ (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 ] [ x(x-5) = x^2 - 5x ] Таким образом, числитель становится: [ x^2 + 10x + 25 + x^2 - 5x = 2x^2 + 5x + 25 ]

4. Перепишем уравнение с новым числителем: [ \frac{2x^2 + 5x + 25}{(x-5)(x+5)} = \frac{50}{(x-5)(x+5)} ]

5. Уравняем числители, так как знаменатели равны: [ 2x^2 + 5x + 25 = 50 ]

6. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 2x^2 + 5x + 25 - 50 = 0 ] [ 2x^2 + 5x - 25 = 0 ]

7. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac ] В нашем случае ( a = 2 ), ( b = 5 ), ( c = -25 ): [ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225 ]

8. Найдем корни уравнения: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{4} ] [ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 15}{4} ]

9. Найдем ( x_1 ) и ( x_2 ): [ x_1 = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 ] [ x_2 = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5 ]

10. Проверим, не являются ли найденные корни ( x_1 ) и ( x_2 ) запрещенными значениями (деление на ноль): [ x_1 = 2.5 \quad (\text{допустимо}) ] [ x_2 = -5 \quad (\text{не допустимо, так как знаменатель станет равным нулю}) ]

Ответ: [ x = 2.5 ]

Для начала, упростим данное уравнение. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю, который в данном случае будет (x-5)(x+5). Получим следующее уравнение:

(x^2 + 5x - 5x - 25 + x^2) / ((x-5)(x+5)) = 50 / (x^2 - 25)

(2x^2 - 25) / ((x-5)(x+5)) = 50 / ((x-5)(x+5))

Умножим обе части уравнения на ((x-5)(x+5)), чтобы избавиться от знаменателей:

2x^2 - 25 = 50

2x^2 = 75

x^2 = 75 / 2

x = ±√(75 / 2)

Таким образом, решением уравнения будет x = ±√(75 / 2), где x != 5 и x != -5.

Уравнение не имеет решения.