Решите биквадратное уравнение: г)4x^4 - 13x^2 + 3 = 0; д)16y^4 + 15^2 - 1 = 0; е)y^4 + 2y^2 + 6 = 0.

г) Решение биквадратного уравнения 4x^4 - 13x^2 + 3 = 0: x = ±1/2, x = ±√3/2

д) Решение биквадратного уравнения 16y^4 + 15y^2 - 1 = 0: y = ±1/2, y = ±√3/2

е) Решение биквадратного уравнения y^4 + 2y^2 + 6 = 0: нет действительных корней.

Давайте решим данные биквадратные уравнения одно за другим.

г) 4x^4 - 13x^2 + 3 = 0;

Для упрощения подставим ( u = x^2 ). Тогда уравнение примет вид: [ 4u^2 - 13u + 3 = 0 ] Это квадратное уравнение относительно ( u ). Решим его через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 ] Корни уравнения находим по формуле: [ u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{8} ] [ u_1 = \frac{24}{8} = 3, \quad u_2 = \frac{2}{8} = 0.25 ] Теперь возвращаемся к переменной ( x ), подставляя ( u = x^2 ): [ x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} ] [ x^2 = 0.25 \Rightarrow x = \pm 0.5 ] Итак, корни уравнения: ( x = \pm \sqrt{3}, \pm 0.5 ).

д) 16y^4 + 15^2 - 1 = 0;

Похоже, что здесь ошибка в записи, так как 15^2 - это число 225 и уравнение не имеет переменной ( y ) во втором слагаемом. Вероятно, должно быть что-то вроде ( 16y^4 + 15y^2 - 1 = 0 ). Если это так, то решим это уравнение: Подставим ( v = y^2 ), тогда уравнение примет вид: [ 16v^2 + 15v - 1 = 0 ] Решаем через дискриминант: [ D = 15^2 + 4 \cdot 16 \cdot 1 = 225 + 64 = 289 ] Корни уравнения: [ v_{1,2} = \frac{-15 \pm 17}{32} ] [ v_1 = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}, \quad v_2 = \frac{-32}{32} = -1 ] (Второй корень ( v_2 = -1 ) не подходит, так как ( y^2 \geq 0 ).) [ y^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{4} ] Итак, корни уравнения: ( y = \pm \frac{1}{4} ).

е) y^4 + 2y^2 + 6 = 0;

Подставим ( z = y^2 ), тогда уравнение примет вид: [ z^2 + 2z + 6 = 0 ] Решим через дискриминант: [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 ] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Отсюда следует, что исходное уравнение также не имеет вещественных решений.

Таким образом, мы решили все три биквадратных уравнения, при условии корректного понимания второго уравнения.

г) Для решения биквадратного уравнения 4x^4 - 13x^2 + 3 = 0 проведем замену переменной. Обозначим x^2 как t. Тогда уравнение примет вид 4t^2 - 13t + 3 = 0. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-13)^2 - 443 = 169 - 48 = 121. D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их с помощью формулы: t1,2 = (13 ± √121) / (2*4) = (13 ± 11) / 8. Получаем два корня: t1 = 3/2 и t2 = 1/2. Теперь найдем корни исходного уравнения: x1 = √(3/2) и x2 = -√(3/2), x3 = √(1/2) и x4 = -√(1/2).

д) Для уравнения 16y^4 + 15y^2 - 1 = 0 проведем замену переменной. Обозначим y^2 как t. Получаем уравнение 16t^2 + 15t - 1 = 0. Решим его, используя дискриминант: D = 15^2 - 416(-1) = 225 + 64 = 289. D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их: t1,2 = (-15 ± √289) / (2*16) = (-15 ± 17) / 32. Получаем два корня: t1 = 1/4 и t2 = -1. Теперь найдем корни исходного уравнения: y1 = √(1/4) и y2 = -√(1/4), y3 = √(-1) и y4 = -√(-1).

е) Уравнение y^4 + 2y^2 + 6 = 0 не является биквадратным, так как нет члена с y в четвертой степени. Данное уравнение можно решить, проведя замену переменной. Обозначим y^2 как t. Получим уравнение t^2 + 2t + 6 = 0. Однако данное уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант D = 2^2 - 416 = 4 - 24 = -20 < 0. Таким образом, уравнение y^4 + 2y^2 + 6 = 0 не имеет действительных корней.