Для решения биквадратного уравнения ( x^4 - 4x^2 - 45 = 0 ) начнем с того, что сделаем замену переменной: пусть ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 - 4y - 45 = 0 ]
Это квадратное уравнение относительно ( y ). Для его решения используем формулу корней квадратного уравнения:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = -45 ). Подставляем эти значения в формулу:
[ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)}}{2 \cdot 1} ]
[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} ]
[ y = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} ]
[ y = \frac{4 \pm 14}{2} ]
Отсюда получаем два значения для ( y ):
[ y_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9 ]
[ y_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5 ]
Так как ( y = x^2 ) и ( x^2 ) не может быть отрицательным, то отрицательное значение ( y_2 = -5 ) не подходит. Рассмотрим ( y_1 = 9 ):
[ x^2 = 9 ]
[ x = \pm \sqrt{9} ]
[ x = \pm 3 ]
Таким образом, корни исходного биквадратного уравнения ( x^4 - 4x^2 - 45 = 0 ) это ( x = 3 ) и ( x = -3 ).