Решите графически систему уравнений x^2+y^2=1 x-y=1
Решите графически систему уравнений x^2+y^2=1 x-y=1
Для решения указанной системы уравнений графическим методом, начнем с описания каждого из уравнений и построения их на координатной плоскости.
Уравнение ( x^2 + y^2 = 1 ) описывает окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 1. Это стандартное уравнение окружности, где все точки на окружности удовлетворяют условию, что сумма квадратов их координат равна 1.
Уравнение ( x - y = 1 ) является линейным уравнением и представляет собой прямую линию. Для построения этой прямой найдем две точки, через которые она проходит. Если ( x = 0 ), то ( y = -1 ), получаем точку (0, -1). Если ( y = 0 ), то ( x = 1 ), получаем точку (1, 0). Соединив эти точки прямой, мы получаем линию, которая проходит через них.
Теперь нужно найти точки пересечения этих двух графиков. Точки пересечения окружности и прямой и будут решениями системы.
Пересечение в первой четверти: прямая ( x - y = 1 ) пересекает окружность в точке, где ( x > y ). Подставим ( y = x - 1 ) в уравнение окружности: [ x^2 + (x - 1)^2 = 1 \ x^2 + x^2 - 2x + 1 = 1 \ 2x^2 - 2x = 0 \ 2x(x - 1) = 0. ] Отсюда ( x = 0 ) или ( x = 1 ). При ( x = 0 ), ( y = -1 ), что дает точку (0, -1). При ( x = 1 ), ( y = 0 ), что дает точку (1, 0). Однако точка (1, 0) лежит на окружности, а (0, -1) - нет.
Пересечение в четвертой четверти: аналогично проверяем точки. Подставляя ( x = 0 ), получаем ( y = -1 ), что не удовлетворяет уравнению окружности. При ( x = 1 ), ( y = 0 ), получаем точку (1, 0), которая удовлетворяет обоим уравнениям.
Итак, единственной точкой пересечения прямой и окружности, которая удовлетворяет обоим уравнениям системы, является точка (1, 0). Это и есть решение системы уравнений.
Для решения графически системы уравнений x^2 + y^2 = 1 и x - y = 1 нужно представить данные уравнения в виде графиков и найти точки их пересечения.
Первое уравнение x^2 + y^2 = 1 описывает окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом 1.
Второе уравнение x - y = 1 можно представить в виде уравнения прямой, которая проходит через точки (0, -1) и (1, 0).
Построив графики этих уравнений на координатной плоскости, можно увидеть, что прямая и окружность пересекаются в двух точках: (-0.5, -1.5) и (1.5, 0.5).
Таким образом, решение системы уравнений x^2 + y^2 = 1 и x - y = 1 графически - это две точки пересечения прямой и окружности на координатной плоскости.
