Решите используя метод сложения 5m+2n=1 15m+3n=3

Для решения системы уравнений методом сложения (или методом исключения), мы постараемся устранить одну из переменных, сложив или вычитая уравнения, чтобы получить уравнение с одной оставшейся переменной.

Дана система уравнений:

1. ( 5m + 2n = 1 )
2. ( 15m + 3n = 3 )

Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при одной из переменных

Мы можем выбрать любую из переменных ((m) или (n)) для исключения. Рассмотрим, например, переменную (n).

Коэффициенты при (n) в первом уравнении равны 2, а во втором — 3. Чтобы их уравнять, найдём наименьшее общее кратное (НОК) для 2 и 3, которое равно 6. Следовательно, умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при (n) стали одинаковыми.

Умножаем уравнения: [ 3 \cdot (5m + 2n) = 3 \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad 15m + 6n = 3 ] [ 2 \cdot (15m + 3n) = 2 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad 30m + 6n = 6 ]

Теперь система выглядит следующим образом:

1. ( 15m + 6n = 3 )
2. ( 30m + 6n = 6 )

Шаг 2. Исключаем переменную (n)

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от (n): [ (30m + 6n) - (15m + 6n) = 6 - 3 ] [ 30m - 15m = 3 ] [ 15m = 3 ]

Разделим обе стороны уравнения на 15: [ m = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} ]

Шаг 3. Подставляем значение (m) в одно из уравнений

Теперь, когда мы нашли (m = \frac{1}{5}), подставим его в первое уравнение системы для нахождения (n): [ 5m + 2n = 1 ] Подставляем (m = \frac{1}{5}): [ 5 \cdot \frac{1}{5} + 2n = 1 ] [ 1 + 2n = 1 ] Вычтем 1 из обеих сторон: [ 2n = 0 ] Разделим обе стороны уравнения на 2: [ n = 0 ]

Шаг 4. Записываем ответ

Решение системы уравнений: [ m = \frac{1}{5}, \quad n = 0 ]

Мы можем подставить найденные значения ((m = \frac{1}{5}) и (n = 0)) во второе уравнение системы, чтобы убедиться, что они удовлетворяют системе: [ 15m + 3n = 3 ] [ 15 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0 = 3 ] [ 3 = 3 ]

Значения (m = \frac{1}{5}) и (n = 0) действительно являются решением системы. Ответ окончательный: [ m = \frac{1}{5}, \quad n = 0 ]

Для решения системы уравнений методом сложения, начнем с самой системы:

1) ( 5m + 2n = 1 )
2) ( 15m + 3n = 3 )

Первым делом, чтобы упростить систему, мы можем заметить, что второе уравнение можно упростить, разделив его на 3:

[ 15m + 3n = 3 \implies 5m + n = 1 ]

Теперь у нас есть следующая система уравнений:

1) ( 5m + 2n = 1 )
2) ( 5m + n = 1 )

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим ( n ):

[ n = 1 - 5m ]

Теперь подставим это выражение для ( n ) в первое уравнение:

[ 5m + 2(1 - 5m) = 1 ]

Раскроем скобки:

[ 5m + 2 - 10m = 1 ]

Соберем подобные слагаемые:

[ -5m + 2 = 1 ]

Теперь перенесем 2 на правую сторону:

[ -5m = 1 - 2 \implies -5m = -1 ]

Разделим обе стороны на -5:

[ m = \frac{1}{5} ]

Теперь, когда мы нашли ( m ), подставим его значение обратно в уравнение для ( n ):

[ n = 1 - 5 \left(\frac{1}{5}\right) = 1 - 1 = 0 ]

Итак, мы нашли значения переменных:

[ m = \frac{1}{5}, \quad n = 0 ]

Проверим, подходят ли найденные значения для исходной системы:

1) В первом уравнении:

[ 5\left(\frac{1}{5}\right) + 2(0) = 1 \implies 1 + 0 = 1 \quad \text{(все верно)} ]

2) Во втором уравнении:

[ 15\left(\frac{1}{5}\right) + 3(0) = 3 \implies 3 + 0 = 3 \quad \text{(все верно)} ]

Таким образом, решение системы уравнений:

[ m = \frac{1}{5}, \quad n = 0 ]

Для решения системы уравнений методом сложения:

1. Умножим первое уравнение на 3, чтобы сделать коэффициенты перед (n) одинаковыми: [ 3(5m + 2n) = 3(1) \implies 15m + 6n = 3 ]

2. Теперь у нас есть система: [ 15m + 6n = 3 \quad (1) ] [ 15m + 3n = 3 \quad (2) ]

3. Вычтем второе уравнение из первого: [ (15m + 6n) - (15m + 3n) = 3 - 3 ] [ 3n = 0 \implies n = 0 ]

4. Подставим (n = 0) в одно из исходных уравнений, например, в первое: [ 5m + 2(0) = 1 \implies 5m = 1 \implies m = \frac{1}{5} ]

Таким образом, решение системы: [ m = \frac{1}{5}, \quad n = 0 ]