Решите неравенство 2x^2 - x - 15 > 0

Для решения данного неравенства необходимо найти корни квадратного уравнения, соответствующего данному неравенству, а затем определить интервалы, на которых выполняется неравенство.

1. Найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - x - 15 = 0: Для этого воспользуемся формулой квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a где a = 2, b = -1, c = -15.

Вычисляем дискриминант D = b^2 - 4ac: D = (-1)^2 - 4 2 (-15) = 1 + 120 = 121

Теперь найдем корни уравнения: x1 = (1 + √121) / (22) = (1 + 11) / 4 = 12 / 4 = 3 x2 = (1 - √121) / (22) = (1 - 11) / 4 = (-10) / 4 = -2.5

1. Теперь построим знаки функции f(x) = 2x^2 - x - 15 на интервалах (-бесконечность; -2.5), (-2.5; 3), (3; +бесконечность): Выбираем произвольное значение x из каждого интервала и подставляем в функцию f(x). Если f(x) > 0, то этот интервал удовлетворяет неравенству.

• Для x = -3: f(-3) = 2(-3)^2 - (-3) - 15 = 29 + 3 - 15 = 18 + 3 - 15 = 6 > 0
• Для x = 0: f(0) = 2*0^2 - 0 - 15 = -15 < 0
• Для x = 4: f(4) = 24^2 - 4 - 15 = 216 - 4 - 15 = 32 - 4 - 15 = 13 > 0

Итак, неравенство 2x^2 - x - 15 > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность; -2.5) и (3; +бесконечность).

Для решения неравенства (2x^2 - x - 15 > 0), следует выполнить несколько шагов:

1. Найти корни соответствующего квадратного уравнения (2x^2 - x - 15 = 0).

2. Определить интервалы, на которых выражение (2x^2 - x - 15) положительно.

Шаг 1: Найти корни квадратного уравнения

Для этого используется формула корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

В нашем случае (a = 2), (b = -1), (c = -15). Подставляем значения в формулу:

[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2}] [x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}] [x = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4}] [x = \frac{1 \pm 11}{4}]

Таким образом, получаем два корня:

[x_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3]

[x_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5]

Шаг 2: Определить интервалы

Корни (x_1 = 3) и (x_2 = -2.5) делят числовую ось на три интервала: ((-\infty, -2.5)), ((-2.5, 3)) и ((3, \infty)). Нам нужно определить знаки выражения (2x^2 - x - 15) на каждом из этих интервалов.

Можно для этого выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в выражение (2x^2 - x - 15):

1. Для интервала ((-\infty, -2.5)): Выберем, например, точку (x = -3): [2(-3)^2 - (-3) - 15 = 2 \cdot 9 + 3 - 15 = 18 + 3 - 15 = 6 ] (6 > 0), значит, на интервале ((-\infty, -2.5)) выражение положительно.

2. Для интервала ((-2.5, 3)): Выберем, например, точку (x = 0): [2(0)^2 - 0 - 15 = -15] (-15 < 0), значит, на интервале ((-2.5, 3)) выражение отрицательно.

3. Для интервала ((3, \infty)): Выберем, например, точку (x = 4): [2(4)^2 - 4 - 15 = 2 \cdot 16 - 4 - 15 = 32 - 4 - 15 = 13] (13 > 0), значит, на интервале ((3, \infty)) выражение положительно.

Ответ

Выражение (2x^2 - x - 15) положительно на интервалах ((-\infty, -2.5)) и ((3, \infty)). Таким образом, решение неравенства:

[2x^2 - x - 15 > 0]

Записывается в виде:

[x \in (-\infty, -2.5) \cup (3, \infty)]