Решите неравенство: 5x+1 дробь x-6 <0

Для решения данного неравенства необходимо выразить x из дроби. Умножим обе части неравенства на (x - 6), чтобы избавиться от дроби:

5x + 1 < 0 * (x - 6) 5x + 1 < 0 5x < -1 x < -1/5

Таким образом, решением неравенства 5x + 1 / x - 6 < 0 будет x < -1/5.

Для решения неравенства (\frac{5x + 1}{x - 6} < 0), необходимо определить, при каких значениях (x) дробь (\frac{5x + 1}{x - 6}) будет меньше нуля. Для этого следует рассмотреть знак числителя и знаменателя отдельно, а затем определить, когда дробь меняет знак.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: [ x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6 ] Таким образом, (x = 6) не входит в область допустимых значений.

2. Поиск нулей числителя и знаменателя:

   • Числитель (5x + 1 = 0) даёт: [ 5x + 1 = 0 \implies 5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5} ]
   • Знаменатель уже был найден: (x = 6).

3. Определение знаков на промежутках: Теперь нужно определить знаки дроби на промежутках, разделённых точками (x = -\frac{1}{5}) и (x = 6). Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: ((-\infty, -\frac{1}{5})), ((- \frac{1}{5}, 6)), ((6, +\infty)).

4. Анализ знаков на промежутках:

   • На промежутке ((-\infty, -\frac{1}{5})):

     • Возьмём тестовую точку, например, (x = -1).
     • Подставим в дробь: (\frac{5(-1) + 1}{-1 - 6} = \frac{-5 + 1}{-7} = \frac{-4}{-7} > 0).
     • Дробь положительна.

   • На промежутке ((- \frac{1}{5}, 6)):

     • Возьмём тестовую точку, например, (x = 0).
     • Подставим в дробь: (\frac{5(0) + 1}{0 - 6} = \frac{1}{-6} < 0).
     • Дробь отрицательна.

   • На промежутке ((6, +\infty)):

     • Возьмём тестовую точку, например, (x = 7).
     • Подставим в дробь: (\frac{5(7) + 1}{7 - 6} = \frac{35 + 1}{1} = 36 > 0).
     • Дробь положительна.

5. Запись решения: Мы ищем те промежутки, где дробь меньше нуля. Это выполняется на промежутке ((- \frac{1}{5}, 6)).

Таким образом, решение неравенства (\frac{5x + 1}{x - 6} < 0) является промежуток: [ x \in \left(-\frac{1}{5}, 6\right) ]