Решите неравенство 8х-х^2 меньше или равно 0

Для решения неравенства (8x - x^2 \leq 0), сначала приведем его к стандартному виду. Для этого перенесем все члены в левую часть и заменим знак неравенства на равенство:

[8x - x^2 = 0]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

[x^2 - 8x = 0]

[x(x - 8) = 0]

Таким образом, у нас получается два корня: (x = 0) и (x = 8). Теперь построим знаки функции в каждом интервале:

[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & x < 0 & 0 < x < 8 & x > 8 \ \hline x & - & 0 & + \ \hline 8x - x^2 & - & 0 & + \ \hline \end{array} ]

Отсюда видно, что неравенство (8x - x^2 \leq 0) выполняется при (0 \leq x \leq 8). Таким образом, решением данного неравенства является (0 \leq x \leq 8).

Чтобы решить неравенство (8x - x^2 \leq 0), следуйте следующим шагам:

1. Перепишем неравенство:

   [ -x^2 + 8x \leq 0 ]

   Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, сначала преобразуем его в стандартную форму:

   [ x^2 - 8x \geq 0 ]

   Мы умножили все выражение на -1, изменив знак неравенства.

2. Найдем корни соответствующего уравнения:

   Решим уравнение (x^2 - 8x = 0) путем вынесения общего множителя:

   [ x(x - 8) = 0 ]

   Это уравнение дает нам два корня: (x = 0) и (x = 8).

3. Определим интервалы на числовой прямой:

   Корни уравнения (x = 0) и (x = 8) делят числовую прямую на три интервала:

   • ((-\infty, 0))
   • ([0, 8])
   • ((8, +\infty))

4. Проверим знаки выражения на каждом из интервалов:

   Для определения знака выражения (x(x - 8)) в каждом из интервалов выберем тестовые точки:

   • Для интервала ((-\infty, 0)) выберем (x = -1): [ (-1)((-1) - 8) = -1 \times (-9) = 9 > 0 ]

   • Для интервала ((0, 8)) выберем (x = 4): [ 4(4 - 8) = 4 \times (-4) = -16 < 0 ]

   • Для интервала ((8, +\infty)) выберем (x = 9): [ 9(9 - 8) = 9 \times 1 = 9 > 0 ]

5. Запишем решение неравенства:

   Нам нужно найти, где выражение (x(x - 8)) больше или равно нулю. Из анализа знаков видно, что это происходит на интервалах ((-\infty, 0]) и ([8, +\infty)).

   Однако, поскольку неравенство включает равенство, корни (x = 0) и (x = 8) также удовлетворяют неравенству.

6. Ответ:

   Решением неравенства (8x - x^2 \leq 0) является объединение интервалов:

   [ x \in [0, 8] ]

Это значит, что для всех значений (x) в этом диапазоне неравенство выполняется.

Решение: x ∈ [0, 8]