Решите неравенство 9x-x²>0

Для того чтобы решить неравенство (9x - x^2 > 0), сначала выразим его в виде квадратного трёхчлена:

(9x - x^2 > 0)

(x^2 - 9x < 0)

Теперь факторизуем выражение:

(x(x - 9) < 0)

Для того чтобы найти корни данного уравнения, мы должны приравнять каждый из множителей к нулю и найти их значения:

(x = 0) и (x - 9 = 0)

Отсюда получаем, что (x = 0) и (x = 9).

Теперь нарисуем число 0 и 9 на числовой прямой и выберем тестовую точку между ними, например, x=5. Подставляем эту точку в исходное неравенство:

(5(5-9) = 5*(-4) = -20 < 0)

Таким образом, получаем, что неравенство (9x - x^2 > 0) выполняется для значений x в интервале (0 < x < 9).

Чтобы решить неравенство (9x - x^2 > 0), сначала упростим его. Перепишем неравенство в стандартном виде:

[ -x^2 + 9x > 0. ]

Для удобства решения мы можем поменять знаки, умножив всё неравенство на (-1) (это не изменит его смысла, но изменит знак неравенства):

[ x^2 - 9x < 0. ]

Следующим шагом разложим левую часть на множители. Найдем корни соответствующего уравнения (x^2 - 9x = 0):

1. Вынесем (x) за скобки:

[ x(x - 9) = 0. ]

1. Найдем корни уравнения:

[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 9. ]

Теперь у нас есть два ключевых значения: (x = 0) и (x = 9). Эти значения делят числовую ось на три промежутка: ((-\infty, 0)), ((0, 9)) и ((9, +\infty)).

Проверим знак выражения (x(x - 9)) на каждом из этих промежутков:

1. На промежутке ((-\infty, 0)):

   Выберем тестовую точку, например, (x = -1).

   Подставим в выражение: ((-1)((-1) - 9) = -1 \cdot (-10) = 10 > 0).

2. На промежутке ((0, 9)):

   Выберем тестовую точку, например, (x = 1).

   Подставим в выражение: (1(1 - 9) = 1 \cdot (-8) = -8 < 0).

3. На промежутке ((9, +\infty)):

   Выберем тестовую точку, например, (x = 10).

   Подставим в выражение: (10(10 - 9) = 10 \cdot 1 = 10 > 0).

Теперь мы знаем, что выражение (x(x - 9)) отрицательно только на промежутке ((0, 9)).

Таким образом, решением неравенства (9x - x^2 > 0) является промежуток:

[ 0 < x < 9. ]

Ответ: (x \in (0, 9)).