Решите неравенство б) x^2-6x+9/x^2-4x-5 больше или =0

1) Неравенство x^2 - 6x + 9 / x^2 - 4x - 5 >= 0 эквивалентно (x - 3)^2 / (x - 5)(x + 1) >= 0 2) Найдем точки разрыва при x = 5 и x = -1 3) Построим знаки в каждом интервале, учитывая точки разрыва и нули числителя 4) Получим, что неравенство выполняется при x = 5.

Решим неравенство (\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 4x - 5} \geq 0).

1. Разложение на множители: Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:

   [ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 ]

   Разложим знаменатель (x^2 - 4x - 5). Для этого найдем корни квадратного уравнения (x^2 - 4x - 5 = 0) с помощью дискриминанта:

   [ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ]

   Тогда корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2} ]

   Корни:

   [ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 ]

   Значит, знаменатель можно разложить на множители:

   [ x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) ]

2. Перепишем неравенство с разложенными множителями:

   [ \frac{(x - 3)^2}{(x - 5)(x + 1)} \geq 0 ]

3. Определение знаков числителя и знаменателя: Рассмотрим знаки числителя и знаменателя на числовой прямой. Значимые точки разделения — (x = -1), (x = 3), (x = 5).

4. Построение числовой прямой: Разделим числовую прямую на интервалы:

   • (x < -1)
   • (-1 < x < 3)
   • (3 < x < 5)
   • (x > 5)

   Рассмотрим знаки выражения на каждом интервале:

   • Числитель ((x - 3)^2) всегда неотрицателен, так как квадрат любого числа неотрицателен. ((x - 3)^2 = 0) при (x = 3).
   • Знаменатель ((x - 5)(x + 1)) меняет знак в точках (x = -1) и (x = 5).

5. Анализ знаков на интервалах:

   • (x < -1): ((x - 3)^2 > 0), ((x - 5) < 0), ((x + 1) < 0) ⇒ знаменатель положителен.
   • (-1 < x < 3): ((x - 3)^2 > 0), ((x - 5) < 0), ((x + 1) > 0) ⇒ знаменатель отрицателен.
   • (3 < x < 5): ((x - 3)^2 > 0), ((x - 5) < 0), ((x + 1) > 0) ⇒ знаменатель отрицателен.
   • (x > 5): ((x - 3)^2 > 0), ((x - 5) > 0), ((x + 1) > 0) ⇒ знаменатель положителен.

6. Объединение решений: Неравенство (\frac{(x - 3)^2}{(x - 5)(x + 1)} \geq 0) выполняется, когда дробь неотрицательна:

   • (x = 3) (числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю).
   • (x < -1) (дробь положительна).
   • (x > 5) (дробь положительна).

7. Исключение особых точек: Точки (x = -1) и (x = 5) исключаются, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль и дробь не определена.

8. Запись ответа: Решение неравенства:

   [ x \in (-\infty, -1) \cup {3} \cup (5, +\infty) ]

Для решения данного неравенства нужно сперва найти корни уравнения в знаменателе дроби:

x^2 - 4x - 5 = 0 (x - 5)(x + 1) = 0 x = 5 или x = -1

Теперь найдем значения функции в интервалах между корнями и за пределами корней. Для этого построим таблицу знаков:

x | -∞, -1 | -1, 5 | 5, +∞

(x - 5) | - | - | +

(x + 1) | - | + | +

f(x) | + | - | +

Отсюда видно, что неравенство f(x) ≥ 0 выполняется при x ≤ -1 и x ≥ 5. Таким образом, решением неравенства будет: x ≤ -1 или x ≥ 5.