Решите неравенство х^2-9/х-5<0 методом интервалов

Чтобы решить неравенство (\frac{x^2 - 9}{x - 5} < 0) методом интервалов, начнем с анализа самого неравенства.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: (x^2 - 9 = 0)
     Это уравнение можно разложить на множители:
     ((x - 3)(x + 3) = 0)
     Таким образом, нули числителя: (x = 3) и (x = -3).

   • Знаменатель: (x - 5 = 0)
     Это уравнение имеет один корень: (x = 5).

2. Определим точки разбиения интервалов:
   У нас есть три ключевые точки: (-3), (3) и (5). Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала:

   • ((-\infty, -3))
   • ((-3, 3))
   • ((3, 5))
   • ((5, +\infty))

3. Выберем тестовые точки для каждого интервала:
   Теперь мы протестируем каждый интервал, выбрав по одной точке из каждого.

   • Для интервала ((-\infty, -3)): возьмем (x = -4)
     (\frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 5} = \frac{16 - 9}{-9} = \frac{7}{-9} < 0)

   • Для интервала ((-3, 3)): возьмем (x = 0)
     (\frac{0^2 - 9}{0 - 5} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5} > 0)

   • Для интервала ((3, 5)): возьмем (x = 4)
     (\frac{4^2 - 9}{4 - 5} = \frac{16 - 9}{-1} = \frac{7}{-1} < 0)

   • Для интервала ((5, +\infty)): возьмем (x = 6)
     (\frac{6^2 - 9}{6 - 5} = \frac{36 - 9}{1} = 27 > 0)

4. Соберем результаты:
   Мы получили следующие знаки на интервалах:

   • ((-\infty, -3)): отрицательное
   • ((-3, 3)): положительное
   • ((3, 5)): отрицательное
   • ((5, +\infty)): положительное

5. Теперь определим, где неравенство выполняется:
   Мы ищем, где (\frac{x^2 - 9}{x - 5} < 0). Это происходит на интервалах:

   • ((-\infty, -3))
   • ((3, 5))

6. Проверим включение концов интервалов:

   • В точках (x = -3) и (x = 3) числитель равен нулю, следовательно, дробь равна нулю: (\frac{0}{-8} = 0) и (\frac{0}{-2} = 0) соответственно. Ноль не удовлетворяет неравенству.
   • В точке (x = 5) знаменатель равен нулю, таким образом, эта точка не входит в область определения функции.

7. Запишем окончательный ответ:
   Объединим найденные интервалы, где неравенство выполняется. Ответ:
   [ (-\infty, -3) \cup (3, 5) ]

Чтобы решить неравенство (\frac{x^2 - 9}{x - 5} < 0) методом интервалов, сначала найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нули числителя: (x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = -3) и (x = 3).
2. Ноль знаменателя: (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5).

Теперь определим критические точки: (x = -3), (x = 3), (x = 5).

Разделим числовую прямую на интервалы: ((-∞, -3)), ((-3, 3)), ((3, 5)), ((5, +∞)).

Теперь проверим знак функции на каждом интервале:

• Для интервала ((-∞, -3)): выберем (x = -4): (\frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 5} = \frac{16 - 9}{-9} = \frac{7}{-9} < 0) (отрицательный).

• Для интервала ((-3, 3)): выберем (x = 0): (\frac{0^2 - 9}{0 - 5} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5} > 0) (положительный).

• Для интервала ((3, 5)): выберем (x = 4): (\frac{4^2 - 9}{4 - 5} = \frac{16 - 9}{-1} = \frac{7}{-1} < 0) (отрицательный).

• Для интервала ((5, +∞)): выберем (x = 6): (\frac{6^2 - 9}{6 - 5} = \frac{36 - 9}{1} = 27 > 0) (положительный).

Теперь мы можем записать знаки функции на интервалах:

• ((-∞, -3)): < 0
• ((-3, 3)): > 0
• ((3, 5)): < 0
• ((5, +∞)): > 0

Таким образом, неравенство (\frac{x^2 - 9}{x - 5} < 0) выполняется на интервалах ((-∞, -3)) и ((3, 5)).

Ответ: (x \in (-∞, -3) \cup (3, 5)).

Рассмотрим неравенство:

[ \frac{x^2 - 9}{x - 5} < 0 ]

Шаг 1. Найдем нули числителя и знаменателя.

1. Числитель: (x^2 - 9 = 0).
   Решим это уравнение: [ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0 ] Отсюда (x = 3) и (x = -3).

2. Знаменатель: (x - 5 = 0).
   Отсюда (x = 5).

Шаг 2. Нанесем критические точки на числовую прямую.

Критические точки: (x = -3), (x = 3), (x = 5).
Эти точки делят числовую прямую на интервалы. Заметим, что (x = 5) — точка, где знаменатель обращается в ноль, а значит, она исключается из области определения (знаменатель не может быть равен нулю). Точки (x = -3) и (x = 3) обращают числитель в ноль.

Шаг 3. Определим знаки выражения на интервалах.

Интервалы: ((- \infty, -3)), ((-3, 3)), ((3, 5)), ((5, +\infty)).

Возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в исходное выражение (\frac{x^2 - 9}{x - 5}), чтобы определить знак.

1. На интервале ((- \infty, -3)):
   Возьмем тестовую точку (x = -4).
   Подставим в (\frac{x^2 - 9}{x - 5}): [ \frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 5} = \frac{16 - 9}{-9} = \frac{7}{-9} < 0 ] Здесь выражение отрицательно.

2. На интервале ((-3, 3)):
   Возьмем тестовую точку (x = 0).
   Подставим в (\frac{x^2 - 9}{x - 5}): [ \frac{0^2 - 9}{0 - 5} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5} > 0 ] Здесь выражение положительно.

3. На интервале ((3, 5)):
   Возьмем тестовую точку (x = 4).
   Подставим в (\frac{x^2 - 9}{x - 5}): [ \frac{4^2 - 9}{4 - 5} = \frac{16 - 9}{-1} = \frac{7}{-1} = -7 < 0 ] Здесь выражение отрицательно.

4. На интервале ((5, +\infty)):
   Возьмем тестовую точку (x = 6).
   Подставим в (\frac{x^2 - 9}{x - 5}): [ \frac{6^2 - 9}{6 - 5} = \frac{36 - 9}{1} = \frac{27}{1} = 27 > 0 ] Здесь выражение положительно.

Шаг 4. Учитываем знак неравенства.

Нам нужно, чтобы (\frac{x^2 - 9}{x - 5} < 0). Это выполняется на тех интервалах, где выражение отрицательно. Из шагов выше видно, что (< 0) на интервалах:

[ x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) ]

Шаг 5. Учитываем точки, где числитель равен нулю.

В точках (x = -3) и (x = 3) числитель равен нулю ((x^2 - 9 = 0)), а значит, дробь равна нулю. Так как строгое неравенство ((< 0)), эти точки не включаем.

Шаг 6. Итоговый ответ.

Решение неравенства:

[ x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) ]