Решите неравенство: х^2 больше равно 1

Неравенство ( x^2 \geq 1 ) можно решить следующим образом:

1. Решим уравнение ( x^2 = 1 ). Так как квадрат числа неотрицателен, то у нас получаются два решения: ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

2. Посмотрим на график функции ( y = x^2 ). Это парабола, которая отражена вверх и имеет вершину в точке (0, 0). При ( x = 1 ) и ( x = -1 ) значение функции равно 1, что означает, что все значения функции ( y = x^2 ) больше либо равны 1 при ( x \geq 1 ) и ( x \leq -1 ).

Итак, решением неравенства ( x^2 \geq 1 ) является множество всех действительных чисел ( x ) таких, что ( x \leq -1 ) или ( x \geq 1 ).

Чтобы решить неравенство ( x^2 \geq 1 ), следуем следующему алгоритму:

1. Перепишем неравенство в стандартной форме:

   [ x^2 - 1 \geq 0 ]

2. Разложим левую часть на множители:

   Заметим, что ( x^2 - 1 ) является разностью квадратов, которую можно разложить как:

   [ (x - 1)(x + 1) \geq 0 ]

3. Найдём нули функции:

   Определим значения ( x ), при которых произведение равно нулю:

   [ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ]

   [ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 ]

   Таким образом, нули функции — точки ( x = -1 ) и ( x = 1 ).

4. Определим интервалы и знаки на них:

   Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные точки: ( (-\infty, -1) ), ( [-1, 1] ), и ( (1, \infty) ).

   • На интервале ( (-\infty, -1) ): выберем тестовую точку ( x = -2 ). Подставим в произведение:

     ((x - 1)(x + 1) = (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0). Знак положительный.

   • На интервале ( (-1, 1) ): выберем тестовую точку ( x = 0 ). Подставим в произведение:

     ((x - 1)(x + 1) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 < 0). Знак отрицательный.

   • На интервале ( (1, \infty) ): выберем тестовую точку ( x = 2 ). Подставим в произведение:

     ((x - 1)(x + 1) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 > 0). Знак положительный.

5. Запишем решение:

   Неравенство ( (x - 1)(x + 1) \geq 0 ) выполняется на интервалах, где произведение положительно или равно нулю. Это происходит на ( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) ).

Таким образом, решение неравенства ( x^2 \geq 1 ) можно записать в виде:

[ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) ]