Решите неравенство sin x >1/2

Для решения неравенства sin x > 1/2 нужно найти все углы x, для которых синус x больше 1/2. Главным образом, это углы, которые лежат в первом и во втором квадрантах. Следовательно, решением неравенства будет x ∈ (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), где k - целое число.

Чтобы решить неравенство (\sin x > \frac{1}{2}), нужно определить, при каких значениях угла (x) синус принимает значения, превышающие (\frac{1}{2}).

Основные соображения:

1. Функция синуса: Синус — это периодическая функция с периодом (2\pi). Он колеблется между значениями (-1) и (1).

2. Интервал значений: Задача заключается в нахождении интервалов, где (\sin x) больше, чем (\frac{1}{2}).

3. Основные решения:

   • (\sin x = \frac{1}{2}) при (x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi) и (x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi), где (k) — целое число, поскольку синус положителен во второй четверти и достигает значения (\frac{1}{2}) на границе первой и второй четвертей.

4. Неравенство:

   • Мы ищем интервалы, где (\sin x > \frac{1}{2}). Это происходит между значениями (\frac{\pi}{6}) и (\frac{5\pi}{6}) в пределах одного периода.

Решение:

Для одного периода ([0, 2\pi)), решение неравенства (\sin x > \frac{1}{2}) лежит в интервале (\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)).

Общий вид решения:

С учетом периодичности функции синуса, общие решения имеют вид:

[ x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right), ]

где (k) — любое целое число.

Проверка:

• При (x = \frac{\pi}{4}), которое попадает в интервал (\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)), (\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707), что больше, чем (\frac{1}{2}).
• При (x = \frac{\pi}{2}), (\sin x = 1), что также удовлетворяет неравенству.

Таким образом, при всех значениях (x) в указанных интервалах синус будет больше (\frac{1}{2}).

Для решения неравенства sin x > 1/2 мы должны определить, в каких интервалах значения синуса больше 1/2.

Сначала найдем значения, при которых sin x = 1/2. Это происходит в точках, где x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Теперь мы видим, что sin x больше 1/2 на интервалах между точками, где sin x = 1/2. Это означает, что неравенство sin x > 1/2 выполняется на интервалах (π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn) и (7π/6 + 2πn, 11π/6 + 2πn), где n - целое число.

Таким образом, решение неравенства sin x > 1/2 можно записать как x ∈ (π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn) ∪ (7π/6 + 2πn, 11π/6 + 2πn), где n - целое число.