Решите неравенство x+3/x-9 <0 , и x+6/x-2 > либо равно 0

Для решения неравенства x+3/x-9 < 0, сначала найдем области допустимых значений. Заметим, что знаменатель не может равняться нулю, поэтому x ≠ 9. Таким образом, область допустимых значений x - это множество всех действительных чисел, за исключением 9.

Теперь найдем точки разрыва функции x+3/x-9. Для этого приравняем знаменатель к нулю и найдем x: x-9 = 0, x = 9. Таким образом, у нас есть точка разрыва при x = 9.

Теперь построим таблицу знаков. Для этого определим знаки выражения x+3 и x-9 в каждом интервале:

1) x < 9: знак + и -, соответственно; 2) x > 9: знак + и +, соответственно.

Теперь найдем корни уравнения x+3/x-9 = 0: x+3 = 0, x = -3. Таким образом, у нас есть корень при x = -3.

Итак, решение неравенства x+3/x-9 < 0: (-∞, -3) U (9, +∞).

Для решения неравенства x+6/x-2 > или равно 0, сначала найдем области допустимых значений. Заметим, что знаменатель не может равняться нулю, поэтому x ≠ 2. Таким образом, область допустимых значений x - это множество всех действительных чисел, за исключением 2.

Теперь найдем точки разрыва функции x+6/x-2. Для этого приравняем знаменатель к нулю и найдем x: x-2 = 0, x = 2. Таким образом, у нас есть точка разрыва при x = 2.

Теперь построим таблицу знаков. Для этого определим знаки выражения x+6 и x-2 в каждом интервале:

1) x < 2: знак + и +, соответственно; 2) x > 2: знак + и -, соответственно.

Таким образом, решение неравенства x+6/x-2 > или равно 0: (2, +∞).

Для решения системы неравенств ( \frac{x+3}{x-9} < 0 ) и ( \frac{x+6}{x-2} \geq 0 ) необходимо рассмотреть каждое неравенство отдельно и затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства ( \frac{x+3}{x-9} < 0 ):

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель ( x+3 = 0 ) даёт ( x = -3 ).
   • Знаменатель ( x-9 = 0 ) даёт ( x = 9 ).

2. Определяем знаки на интервалах:

   • Интервалы: ( (-\infty, -3) ), ( (-3, 9) ), ( (9, \infty) ).

3. Проверяем знаки на каждом интервале:

   • Для ( x < -3 ) (например, ( x = -4 )): (\frac{-4+3}{-4-9} = \frac{-1}{-13} > 0).
   • Для ( -3 < x < 9 ) (например, ( x = 0 )): (\frac{0+3}{0-9} = \frac{3}{-9} < 0).
   • Для ( x > 9 ) (например, ( x = 10 )): (\frac{10+3}{10-9} = \frac{13}{1} > 0).

4. Записываем решение:

   • ( x \in (-3, 9) ).

Решение второго неравенства ( \frac{x+6}{x-2} \geq 0 ):

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель ( x+6 = 0 ) даёт ( x = -6 ).
   • Знаменатель ( x-2 = 0 ) даёт ( x = 2 ).

2. Определяем знаки на интервалах:

   • Интервалы: ( (-\infty, -6) ), ( (-6, 2) ), ( (2, \infty) ).

3. Проверяем знаки на каждом интервале:

   • Для ( x < -6 ) (например, ( x = -7 )): (\frac{-7+6}{-7-2} = \frac{-1}{-9} > 0).
   • Для ( -6 < x < 2 ) (например, ( x = 0 )): (\frac{0+6}{0-2} = \frac{6}{-2} < 0).
   • Для ( x > 2 ) (например, ( x = 3 )): (\frac{3+6}{3-2} = \frac{9}{1} > 0).

4. Записываем решение:

   • ( x \in (-\infty, -6] \cup (2, \infty) ).

Пересечение решений:

Теперь нам нужно найти пересечение двух решений:

• Первое неравенство: ( x \in (-3, 9) ).
• Второе неравенство: ( x \in (-\infty, -6] \cup (2, \infty) ).

Пересечение этих множеств:

• Сначала пересечем с ( (-\infty, -6] ) и ( (-3, 9) ), что даёт пустое множество, так как ( -6 \notin (-3, 9) ).
• Теперь пересечем с ( (2, \infty) ) и ( (-3, 9) ), что даёт ( (2, 9) ).

Итоговое решение:

Таким образом, решение системы неравенств: [ x \in (2, 9) ].