Решите пожалуйста: 8sin^4x+10sin^x-3=0

Для решения данного уравнения воспользуемся заменой переменной. Обозначим sin^x за t. Тогда уравнение примет вид: 8t^2 + 10t - 3 = 0

Далее решим квадратное уравнение относительно t: D = 10^2 - 4 8 (-3) = 100 + 96 = 196 t1,2 = (-10 ± √196) / (2 * 8) = (-10 ± 14) / 16 t1 = 4/8 = 0.5 t2 = -24/16 = -1.5

Теперь подставим обратно sin^x вместо t: sin^x = 0.5 x = arcsin(0.5) + 2πn, n - целое число x = π/6 + 2πn

sin^x = -1.5, но так как sin принимает значения от -1 до 1, то данного решения уравнения нет.

Итак, решением уравнения 8sin^4x + 10sin^x - 3 = 0 будет: x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Для решения уравнения 8sin^4x + 10sin^x - 3 = 0 можно воспользоваться заменой переменной, например, sin^x = t. Получится квадратное уравнение относительно t, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Уравнение, которое вы привели, имеет опечатку в записи. Должно быть, вероятно, 8sin^4(x) + 10sin^2(x) - 3 = 0. Если это так, давайте решим его.

Чтобы упростить решение, сделаем замену: [ t = \sin^2(x) ] Тогда уравнение принимает вид: [ 8t^2 + 10t - 3 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( t ). Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 8 ), ( b = 10 ), ( c = -3 ). Подставим и найдем корни: [ t = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 96}}{16} ] [ t = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{16} ] [ t = \frac{-10 \pm 14}{16} ]

Отсюда получаем два корня: [ t_1 = \frac{4}{16} = 0.25 ] [ t_2 = \frac{-24}{16} = -1.5 ]

Поскольку ( t = \sin^2(x) ) и должно быть в пределах [0, 1], то ( t_2 = -1.5 ) не подходит. Рассмотрим ( t_1 = 0.25 ): [ \sin^2(x) = 0.25 ] [ \sin(x) = \pm 0.5 ]

Теперь найдем ( x ): [ \sin(x) = 0.5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \text{ или } x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, ] где ( k ) — целое число.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются: [ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \text{ и } x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, ] где ( k ) — любое целое число.