Решите пожалуйста: 8sin^4x+10sin^x-3=0

Для решения данного уравнения воспользуемся заменой переменной. Обозначим sin^x за t. Тогда уравнение примет вид: 8t^2 + 10t - 3 = 0

Далее решим квадратное уравнение относительно t: D = 10^2 - 4 8 $-3$ = 100 + 96 = 196 t1,2 = $-10\pm \surd 196$ / $2\ast 8$ = $-10\pm 14$ / 16 t1 = 4/8 = 0.5 t2 = -24/16 = -1.5

Теперь подставим обратно sin^x вместо t: sin^x = 0.5 x = arcsin$0.5$ + 2πn, n - целое число x = π/6 + 2πn

sin^x = -1.5, но так как sin принимает значения от -1 до 1, то данного решения уравнения нет.

Итак, решением уравнения 8sin^4x + 10sin^x - 3 = 0 будет: x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Для решения уравнения 8sin^4x + 10sin^x - 3 = 0 можно воспользоваться заменой переменной, например, sin^x = t. Получится квадратное уравнение относительно t, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Уравнение, которое вы привели, имеет опечатку в записи. Должно быть, вероятно, 8sin^4$x$ + 10sin^2$x$ - 3 = 0. Если это так, давайте решим его.

Чтобы упростить решение, сделаем замену: $t={\sin }^2(x)$ Тогда уравнение принимает вид: $8t^2+10t-3=0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения: $t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=8$, $b=10$, $c=-3$. Подставим и найдем корни: $t=\frac{-10\pm \sqrt{100+96}}{16}$ $t=\frac{-10\pm \sqrt{196}}{16}$ $t=\frac{-10\pm 14}{16}$

Отсюда получаем два корня: $t_1=\frac{4}{16}=0.25$ $t_2=\frac{-24}{16}=-1.5$

Поскольку $t={\sin }^2(x$ ) и должно быть в пределах $0,1$, то $t_2=-1.5$ не подходит. Рассмотрим $t_1=0.25$: ${\sin }^2(x)=0.25$ $\sin (x)=\pm 0.5$

Теперь найдем $x$: $\sin (x)=0.5\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{ или }x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,$ где $k$ — целое число.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{ и }x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,$ где $k$ — любое целое число.