РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТААА ПОДРОБНО И С РЕШЕНИЕМ СРОЧНО НУЖНО
а) найдите f (1) если f (x)= корень из -х^2+6x+11
б) найдите f (0) если f (x)=(5-х)*на корень из 4+2х
в) найдите
f `(5) если f (x)= корень из x^2-9/х-4
РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТААА ПОДРОБНО И С РЕШЕНИЕМ СРОЧНО НУЖНО
а) найдите f (1) если f (x)= корень из -х^2+6x+11
б) найдите f (0) если f (x)=(5-х)*на корень из 4+2х
в) найдите
f `(5) если f (x)= корень из x^2-9/х-4
а) Для нахождения f (1) нужно найти производную функции f(x) и подставить в нее значение x = 1.
f(x) = √(-x^2 + 6x + 11)
f(x) = (1/2) [(-x^2 + 6x + 11)^(-1/2)] (-2x + 6)
f(1) = (1/2) * [(-1 + 6 + 11)^(-1/2)] * (-2 + 6)
f(1) = (1/2) [16^(-1/2)] 4 = 2/4 = 1/2
б) Аналогично, для нахождения f (0) нужно найти производную функции f(x) и подставить в нее значение x = 0.
f(x) = (5 - x) * √(4 + 2x)
f(x) = -√(4 + 2x) + (5 - x) [1/(2√(4 + 2x))] 2
f`(0) = -√4 + 5 [1/(2√4)] 2 = -2 + 5/4 = -3/4
в) Также для нахождения f (5) нужно найти производную функции f(x) и подставить в нее значение x = 5.
f(x) = √(x^2 - 9) / (x - 4)
f(x) = [(1/2) (x^2 - 9)^(-1/2) 2x * (x - 4) - √(x^2 - 9)] / (x - 4)^2
f(5) = [(1/2) * (25 - 9)^(-1/2) * 10 * 1 - √(25 - 9)] / (5 - 4)^2
f(5) = [(1/2) 16^(-1/2) 10 - √16] / 1
f(5) = [(1/2) * 1/4 * 10 - 4] / 1
f(5) = [5/2 - 4] = 1/2
Таким образом, f (1) = 1/2, f (0) = -3/4, f `(5) = 1/2.
а) f'(x) = (1/2)(-2x + 6) / корень из (-x^2 + 6x + 11) f'(1) = (1/2)(-21 + 6) / корень из (-1^2 + 61 + 11) = (1/2)*(4) / корень из (6) = 2/√6
б) f'(x) = (5 - x) / корень из (4 + 2x) + (5 - x) 1/(2корень из (4 + 2x)) f'(0) = (5 - 0) / корень из (4 + 20) + (5 - 0) 1/(2корень из (4 + 20) = 5/2 + 5/2 = 5
в) f'(x) = (x^2 - 9)/(x - 4)^(3/2) f'(5) = (5^2 - 9)/(5 - 4)^(3/2) = (25 - 9)/1^(3/2) = 16/1 = 16
Необходимо найти производные для данных функций в указанных точках. Разберем каждую задачу по порядку.
Функция: ( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + 11} )
Чтобы найти производную ( f'(x) ), воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций.
Пусть ( u(x) = -x^2 + 6x + 11 ). Тогда ( f(x) = \sqrt{u(x)} ).
Производная функции ( \sqrt{u(x)} ) равна: [ \frac{d}{dx} \sqrt{u(x)} = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x) ]
Сначала найдем производную ( u(x) ): [ u(x) = -x^2 + 6x + 11 ] [ u'(x) = -2x + 6 ]
Теперь подставим ( u'(x) ) в выражение для производной ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 6x + 11}} \cdot (-2x + 6) ]
Нам нужно найти производную в точке ( x = 1 ): [ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{-(1)^2 + 6 \cdot 1 + 11}} \cdot (-2 \cdot 1 + 6) ] [ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{-1 + 6 + 11}} \cdot (6 - 2) ] [ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{16}} \cdot 4 ] [ f'(1) = \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4 ] [ f'(1) = \frac{4}{8} ] [ f'(1) = \frac{1}{2} ]
Функция: ( f(x) = (5 - x) \sqrt{4 + 2x} )
Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом произведения: [ (uv)' = u'v + uv' ]
Пусть ( u(x) = 5 - x ) и ( v(x) = \sqrt{4 + 2x} ).
Производные: [ u'(x) = -1 ] [ v(x) = \sqrt{4 + 2x} ] [ v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 + 2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{4 + 2x}} ]
Теперь найдём производную ( f(x) ): [ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) ] [ f'(x) = (-1) \sqrt{4 + 2x} + (5 - x) \frac{1}{\sqrt{4 + 2x}} ]
Нам нужно найти производную в точке ( x = 0 ): [ f'(0) = (-1) \sqrt{4 + 2 \cdot 0} + (5 - 0) \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \cdot 0}} ] [ f'(0) = (-1) \sqrt{4} + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} ] [ f'(0) = (-1) \cdot 2 + 5 \cdot \frac{1}{2} ] [ f'(0) = -2 + \frac{5}{2} ] [ f'(0) = -2 + 2.5 ] [ f'(0) = 0.5 ]
Функция: ( f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 4}} )
Для упрощения, сначала упростим выражение под корнем.
[ f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 4}} = \sqrt{\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 4}} ]
Производную такой функции вычислять сложно, поэтому мы воспользуемся правилом Лопиталя, так как ( x = 5 ) не является точкой разрыва.
Обозначим ( g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 4} ):
[ g(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-4} ]
Производная ( g(x) ): [ g'(x) = \frac{(x - 4) \cdot 2x - (x^2 - 9) \cdot 1}{(x - 4)^2} ] [ g'(x) = \frac{2x(x - 4) - (x^2 - 9)}{(x - 4)^2} ] [ g'(x) = \frac{2x^2 - 8x - x^2 + 9}{(x - 4)^2} ] [ g'(x) = \frac{x^2 - 8x + 9}{(x - 4)^2} ]
Теперь найдем ( g'(5) ): [ g'(5) = \frac{(5)^2 - 8 \cdot 5 + 9}{(5 - 4)^2} ] [ g'(5) = \frac{25 - 40 + 9}{1^2} ] [ g'(5) = \frac{-6}{1} ] [ g'(5) = -6 ]
Теперь воспользуемся правилом цепочки для ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) ]
Найдем ( f'(5) ): [ f'(5) = \frac{1}{2\sqrt{g(5)}} \cdot g'(5) ] [ g(5) = \frac{5^2 - 9}{5 - 4} ] [ g(5) = \frac{25 - 9}{1} ] [ g(5) = 16 ] [ f'(5) = \frac{1}{2\sqrt{16}} \cdot (-6) ] [ f'(5) = \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (-6) ] [ f'(5) = \frac{1}{8} \cdot (-6) ] [ f'(5) = -\frac{6}{8} ] [ f'(5) = -\frac{3}{4} ]
